MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9248
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9183 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 486 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6243 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6227 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9245 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
98simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
119, 10eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
128simpld 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
13 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9219 . . . . 5 ((𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 258 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
1716ex 413 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)))
1817ssrdv 3970 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   cuni 4830  dom cdm 5548  cima 5551  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  Fun wfun 6342  cfv 6348  𝑅1cr1 9179  rankcrnk 9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-r1 9181  df-rank 9182
This theorem is referenced by:  rankr1id  9279  ackbij2  9653  wunom  10130  r1limwun  10146  inar1  10185  r1tskina  10192  r1rankcld  40444
  Copyright terms: Public domain W3C validator