MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 8679
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8614 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 478 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 5772 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 5755 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 8676 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
98simprd 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
119, 10eqeltrd 2699 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
128simpld 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
13 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 8650 . . . . 5 ((𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
1716ex 450 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)))
1817ssrdv 3601 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567   cuni 4427  dom cdm 5104  cima 5107  Ord word 5710  Oncon0 5711  Lim wlim 5712  Fun wfun 5870  cfv 5876  𝑅1cr1 8610  rankcrnk 8611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-r1 8612  df-rank 8613
This theorem is referenced by:  rankr1id  8710  ackbij2  9050  wunom  9527  r1limwun  9543  inar1  9582  r1tskina  9589
  Copyright terms: Public domain W3C validator