Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0cl 33990
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 28000 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0cl (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 16981 . 2 (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2621 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2op01dm 33989 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simprd 479 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
91, 2, 5, 8glbcl 16938 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2698 1 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  dom cdm 5084  cfv 5857  Basecbs 15800  lubclub 16882  glbcglb 16883  0.cp0 16977  OPcops 33978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-glb 16915  df-p0 16979  df-oposet 33982
This theorem is referenced by:  ople0  33993  lub0N  33995  opltn0  33996  opoc1  34008  opoc0  34009  olj01  34031  olj02  34032  olm01  34042  olm02  34043  0ltat  34097  leatb  34098  hlhgt2  34194  hl0lt1N  34195  hl2at  34210  atcvr0eq  34231  lnnat  34232  atle  34241  athgt  34261  1cvratex  34278  ps-2  34283  dalemcea  34465  pmapeq0  34571  2atm2atN  34590  lhp0lt  34808  lhpn0  34809  ltrnatb  34942  ltrnmwOLD  34957  cdleme3c  35036  cdleme7e  35053  dia0eldmN  35848  dia2dimlem2  35873  dia2dimlem3  35874  dib0  35972  dih0  36088  dih0bN  36089  dih0rn  36092  dihlspsnssN  36140  dihlspsnat  36141  dihatexv  36146
  Copyright terms: Public domain W3C validator