Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 33980
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 28167 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 op0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 473 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 477 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2621 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2op01dm 33977 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
98simprd 479 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
109adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 16971 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  Basecbs 15788  lecple 15876  lubclub 16870  glbcglb 16871  0.cp0 16965  OPcops 33966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-glb 16903  df-p0 16967  df-oposet 33970
This theorem is referenced by:  ople0  33981  opnlen0  33982  lub0N  33983  opltn0  33984  olj01  34019  olm01  34030  leatb  34086  1cvratex  34266  llnn0  34309  lplnn0N  34340  lvoln0N  34384  dalemcea  34453  ltrnatb  34930  ltrnmwOLD  34945  tendo0tp  35584  cdlemk39s-id  35735  dia0eldmN  35836  dib0  35960  dih0  36076  dihmeetlem18N  36120
  Copyright terms: Public domain W3C validator