Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 36202
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 29145 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2818 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 op0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 485 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2818 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2op01dm 36199 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
98simprd 496 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
109adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 17641 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  lubclub 17540  glbcglb 17541  0.cp0 17635  OPcops 36188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-glb 17573  df-p0 17637  df-oposet 36192
This theorem is referenced by:  ople0  36203  opnlen0  36204  lub0N  36205  opltn0  36206  olj01  36241  olm01  36252  leatb  36308  1cvratex  36489  llnn0  36532  lplnn0N  36563  lvoln0N  36607  dalemcea  36676  ltrnatb  37153  tendo0tp  37805  cdlemk39s-id  37956  dia0eldmN  38056  dib0  38180  dih0  38296  dihmeetlem18N  38340
  Copyright terms: Public domain W3C validator