MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opelcnv 5210
Description: Ordered-pair membership in converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opelcnv.1 𝐴 ∈ V
opelcnv.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
opelcnv (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv
StepHypRef Expression
1 opelcnv.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 opelcnv.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 opelcnvg 5208 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
41, 2, 3mp2an 703 1 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1975  Vcvv 3168  cop 4126  ccnv 5023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-rab 2900  df-v 3170  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-br 4574  df-opab 4634  df-cnv 5032
This theorem is referenced by:  cnvopab  5435  cnv0  5437  cnvdif  5440  dfrel2  5484  cnvcnvsn  5512  cnvresima  5523  dfco2  5533  cnviin  5571  fcnvres  5976  cnvf1olem  7135  cnvimadfsn  7164  dmtpos  7224  dftpos4  7231  tpostpos  7232  brsdom2  7942  fsumcom2  14289  fsumcom2OLD  14290  fprodcom2  14495  fprodcom2OLD  14496  gsumcom2  18139  metustsym  22107  cnvco1  30705  cnvco2  30706  cnviun  36760
  Copyright terms: Public domain W3C validator