MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opelcnv 5274
Description: Ordered-pair membership in converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opelcnv.1 𝐴 ∈ V
opelcnv.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
opelcnv (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv
StepHypRef Expression
1 opelcnv.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 opelcnv.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 opelcnvg 5272 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
41, 2, 3mp2an 707 1 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 1987  Vcvv 3190  cop 4161  ccnv 5083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-cnv 5092
This theorem is referenced by:  cnvopab  5502  cnv0OLD  5505  cnvdif  5508  dfrel2  5552  cnvcnvsn  5581  cnvresima  5592  dfco2  5603  cnviin  5641  fcnvres  6049  cnvf1olem  7235  cnvimadfsn  7264  dmtpos  7324  dftpos4  7331  tpostpos  7332  brsdom2  8044  fsumcom2  14452  fsumcom2OLD  14453  fprodcom2  14658  fprodcom2OLD  14659  gsumcom2  18314  metustsym  22300  cnvco1  31411  cnvco2  31412  cnviun  37462
  Copyright terms: Public domain W3C validator