MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelreal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opelreal 10540
Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opelreal (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)

Proof of Theorem opelreal
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 0R = 0R
2 df-r 10535 . . . 4 ℝ = (R × {0R})
32eleq2i 2901 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4 opelxp 5584 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}))
5 0r 10490 . . . . . 6 0RR
65elexi 3511 . . . . 5 0R ∈ V
76elsn 4572 . . . 4 (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
87anbi2i 622 . . 3 ((𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
93, 4, 83bitri 298 . 2 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
101, 9mpbiran2 706 1 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563   × cxp 5546  Rcnr 10275  0Rc0r 10276  cr 10524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328  df-np 10391  df-1p 10392  df-enr 10465  df-nr 10466  df-0r 10470  df-r 10535
This theorem is referenced by:  ltresr  10550  ax1cn  10559  axaddrcl  10562  axmulrcl  10564  axrnegex  10572  axrrecex  10573  axcnre  10574  axpre-sup  10579
  Copyright terms: Public domain W3C validator