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Theorem opeoALTV 43726
Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by AV, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
opeoALTV ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )

Proof of Theorem opeoALTV
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑛 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 43673 . . 3 (𝐴 ∈ Odd → 𝐴 ∈ ℤ)
2 evenz 43672 . . 3 (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zaddcl 12010 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
5 eqeq1 2822 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
65rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
7 dfodd6 43679 . . . . 5 Odd = {𝑎 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑎 = ((2 · 𝑖) + 1)}
86, 7elrab2 3680 . . . 4 (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)))
9 eqeq1 2822 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
109rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
11 dfeven4 43680 . . . . . 6 Even = {𝑏 ∈ ℤ ∣ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑗)}
1210, 11elrab2 3680 . . . . 5 (𝐵 ∈ Even ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)))
13 zaddcl 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
1413ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
1514ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ))
1615imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
18 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
1918oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
2019eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) ∧ 𝑛 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
22 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
2322ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
2423ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 = (2 · 𝑗) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗))))
2524imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)))
26 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
27 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
2926, 28mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
3029ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) ∈ ℂ)
31 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
32 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
33 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
34 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
3630, 31, 35add32d 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1))
37 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
3827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
3933adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
4037, 38, 39adddid 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · (𝑖 + 𝑗)) = ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)))
4140eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) = (2 · (𝑖 + 𝑗)))
4241oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + (2 · 𝑗)) + 1) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
4336, 42eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
4443ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
4544ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1)))
4645imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (((2 · 𝑖) + 1) + (2 · 𝑗)) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
4825, 47eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → (𝐴 + 𝐵) = ((2 · (𝑖 + 𝑗)) + 1))
4917, 21, 48rspcedvd 3623 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
5049rexlimdva2 3284 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
5150expimpd 454 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
5251r19.29an 3285 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ 𝐵 = (2 · 𝑗)) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
5312, 52syl5bi 243 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((2 · 𝑖) + 1)) → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
548, 53sylbi 218 . . 3 (𝐴 ∈ Odd → (𝐵 ∈ Even → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
5554imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1))
56 eqeq1 2822 . . . 4 (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
5756rexbidv 3294 . . 3 (𝑧 = (𝐴 + 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
58 dfodd6 43679 . . 3 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
5957, 58elrab2 3680 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ Odd ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 + 𝐵) = ((2 · 𝑛) + 1)))
604, 55, 59sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ Odd ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  2c2 11680  cz 11969   Even ceven 43666   Odd codd 43667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-even 43668  df-odd 43669
This theorem is referenced by:  omeoALTV  43728  epoo  43745
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