Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople0 33951
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 28148 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ople0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem ople0
StepHypRef Expression
1 op0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 op0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 op0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 33950 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 528 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 opposet 33945 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 477 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op0cl 33948 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
109adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 16873 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  0.cp0 16958  OPcops 33936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-preset 16849  df-poset 16867  df-glb 16896  df-p0 16960  df-oposet 33940
This theorem is referenced by:  lub0N  33953  opoc1  33966  atlatmstc  34083  cvrat4  34206  lhpocnle  34779  cdleme22b  35106  tendoid  35538  tendoex  35740
  Copyright terms: Public domain W3C validator