Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opmpt2ismgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opmpt2ismgm 42132
Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opmpt2ismgm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpt2ismgm.p (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
opmpt2ismgm.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
opmpt2ismgm.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
opmpt2ismgm (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpt2ismgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opmpt2ismgm.c . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
21ralrimivva 3000 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
4 simprl 809 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
5 simprr 811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
6 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
76ovmpt2elrn 7286 . . . 4 ((∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
83, 4, 5, 7syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
98ralrimivva 3000 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10 opmpt2ismgm.n . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 n0 3964 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐵)
12 opmpt2ismgm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
13 opmpt2ismgm.p . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
1413eqcomi 2660 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g𝑀)
1512, 14ismgmn0 17291 . . . . 5 (𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1615exlimiv 1898 . . . 4 (∃𝑒 𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1711, 16sylbi 207 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1810, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
199, 18mpbird 247 1 (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Mgmcmgm 17287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-mgm 17289
This theorem is referenced by:  copissgrp  42133
  Copyright terms: Public domain W3C validator