Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opmpt2ismgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opmpt2ismgm 41702
Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opmpt2ismgm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpt2ismgm.p (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
opmpt2ismgm.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
opmpt2ismgm.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
opmpt2ismgm (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpt2ismgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opmpt2ismgm.c . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
21ralrimivva 2858 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
32adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
4 simprl 789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
5 simprr 791 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
6 eqid 2514 . . . . 5 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
76ovmpt2elrn 7005 . . . 4 ((∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
83, 4, 5, 7syl3anc 1317 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
98ralrimivva 2858 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10 opmpt2ismgm.n . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 n0 3793 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐵)
12 opmpt2ismgm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
13 opmpt2ismgm.p . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
1413eqcomi 2523 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g𝑀)
1512, 14ismgmn0 16959 . . . . 5 (𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1615exlimiv 1811 . . . 4 (∃𝑒 𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1711, 16sylbi 205 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1810, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
199, 18mpbird 245 1 (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  c0 3777  cfv 5689  (class class class)co 6426  cmpt2 6428  Basecbs 15579  +gcplusg 15652  Mgmcmgm 16955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-mgm 16957
This theorem is referenced by:  copissgrp  41703
  Copyright terms: Public domain W3C validator