Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem 23270
 Description: Lemma for opnmbl 23271. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem opnmbllem
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑛 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ([,]‘𝑧) = ([,]‘𝑤))
21sseq1d 3616 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
32elrab 3351 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
4 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
5 fvex 6160 . . . . . . . . 9 ([,]‘𝑤) ∈ V
65elpw 4141 . . . . . . . 8 (([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
74, 6sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 12211 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11 ffun 6007 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun [,]
13 ssrab2 3671 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹
14 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
1514dyadf 23260 . . . . . . . . . 10 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
16 frn 6012 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
18 inss2 3817 . . . . . . . . . 10 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
19 rexpssxrxp 10029 . . . . . . . . . 10 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2018, 19sstri 3597 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2117, 20sstri 3597 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2213, 21sstri 3597 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2310fdmi 6011 . . . . . . 7 dom [,] = (ℝ* × ℝ*)
2422, 23sseqtr4i 3622 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]
25 funimass4 6205 . . . . . 6 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴))
2612, 24, 25mp2an 707 . . . . 5 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
279, 26sylibr 224 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴)
28 sspwuni 4582 . . . 4 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
2927, 28sylib 208 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
30 eqid 2626 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130rexmet 22497 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3330, 32tgioo 22502 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3433mopni2 22203 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
3531, 34mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
36 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
37 uniretop 22471 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
3836, 37syl6sseqr 3636 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3938sselda 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
40 rpre 11783 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
4130bl2ioo 22498 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4239, 40, 41syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4342sseq1d 3616 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴))
44 2re 11035 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
45 1lt2 11139 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
46 expnlbnd 12931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4744, 45, 46mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4847ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4939ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ℝ)
50 2nn 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
51 nnnn0 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5251ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53 nnexpcl 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5450, 52, 53sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5554nnred 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
5649, 55remulcld 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
57 fllelt 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5958simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)))
60 reflcl 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6254nngt0d 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 0 < (2↑𝑛))
63 ledivmul2 10847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6461, 49, 55, 62, 63syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6559, 64mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤)
66 peano2re 10154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6867, 54nndivred 11014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
6958simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1))
70 ltmuldiv 10841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7149, 67, 55, 62, 70syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7269, 71mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7349, 68, 72ltled 10130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7461, 54nndivred 11014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
75 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7674, 68, 75syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7749, 65, 73, 76mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7856flcld 12536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ)
7914dyadval 23261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8078, 52, 79syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8180fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
82 df-ov 6608 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8381, 82syl6eqr 2678 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8477, 83eleqtrrd 2707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
85 ffn 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
8615, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0)
87 fnovrn 6763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) ∧ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
8886, 87mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
8978, 52, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
90 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9190rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9249, 91resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ)
9392rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ*)
9449, 91readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ)
9594rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*)
9674, 91readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟) ∈ ℝ)
9761recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
98 1cnd 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 1 ∈ ℂ)
9955recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
10054nnne0d 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
10197, 98, 99, 100divdird 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
10254nnrecred 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
103 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
104102, 91, 74, 103ltadd2dd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
105101, 104eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10649, 68, 96, 72, 105lttrd 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10749, 91, 74ltsubaddd 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟)))
108106, 107mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
10949, 102readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11074, 49, 102, 65leadd1dd 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
111101, 110eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
112102, 91, 49, 103ltadd2dd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑤 + 𝑟))
11368, 109, 94, 111, 112lelttrd 10140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))
114 iccssioo 12181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11593, 95, 108, 113, 114syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11683, 115eqsstrd 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
117 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
118116, 117sstrd 3598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
119 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → ([,]‘𝑧) = ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
120119sseq1d 3616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴))
121120elrab 3351 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴))
12289, 118, 121sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})
123 funfvima2 6448 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
12412, 24, 123mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
126 elunii 4412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12784, 125, 126syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12848, 127rexlimddv 3033 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
129128expr 642 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13043, 129sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
131130rexlimdva 3029 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13235, 131mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
133132ex 450 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑤𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
134133ssrdv 3594 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13529, 134eqssd 3605 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
136 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → ([,]‘𝑐) = ([,]‘𝑎))
137136sseq1d 3616 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) ↔ ([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏)))
138 equequ1 1954 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 = 𝑏𝑎 = 𝑏))
139137, 138imbi12d 334 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ((([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
140139ralbidv 2985 . . . 4 (𝑐 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
141140cbvrabv 3190 . . 3 {𝑐 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏)} = {𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)}
14213a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹)
14314, 141, 142dyadmbl 23269 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ∈ dom vol)
144135, 143eqeltrrd 2705 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4135  ⟨cop 4159  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080   ↾ cres 5081   “ cima 5082   ∘ ccom 5083  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↦ cmpt2 6607  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  ℕcn 10965  2c2 11015  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ℝ+crp 11776  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  ⌊cfl 12528  ↑cexp 12797  abscabs 13903  topGenctg 16014  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647  MetOpencmopn 19650  volcvol 23134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-ovol 23135  df-vol 23136 This theorem is referenced by:  opnmbl  23271
 Copyright terms: Public domain W3C validator