Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnmbllem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem0 33750
Description: Lemma for ismblfin 33755; could also be used to shorten proof of opnmbllem 23561. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem0 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnmbllem0
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ([,]‘𝑧) = ([,]‘𝑤))
21sseq1d 3765 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
32elrab 3496 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
4 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
5 fvex 6354 . . . . . . . 8 ([,]‘𝑤) ∈ V
65elpw 4300 . . . . . . 7 (([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
74, 6sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 3096 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 12457 . . . . . 6 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11 ffun 6201 . . . . . 6 ([,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 Fun [,]
13 ssrab2 3820 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
14 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 / (2↑𝑦)) = (𝑟 / (2↑𝑦)))
15 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 + 1) = (𝑟 + 1))
1615oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦)))
1714, 16opeq12d 4553 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑟 → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑟 / (2↑𝑦)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
18 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑠 → (2↑𝑦) = (2↑𝑠))
1918oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 → (𝑟 / (2↑𝑦)) = (𝑟 / (2↑𝑠)))
2018oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 → ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠)))
2119, 20opeq12d 4553 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → ⟨(𝑟 / (2↑𝑦)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑟 / (2↑𝑠)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠))⟩)
2217, 21cbvmpt2v 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) = (𝑟 ∈ ℤ, 𝑠 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑟 / (2↑𝑠)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠))⟩)
2322dyadf 23551 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
24 frn 6206 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
26 inss2 3969 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
27 rexpssxrxp 10268 . . . . . . . . 9 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2826, 27sstri 3745 . . . . . . . 8 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2925, 28sstri 3745 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3013, 29sstri 3745 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3110fdmi 6205 . . . . . 6 dom [,] = (ℝ* × ℝ*)
3230, 31sseqtr4i 3771 . . . . 5 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]
33 funimass4 6401 . . . . 5 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴))
3412, 32, 33mp2an 710 . . . 4 (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
359, 34sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴)
36 sspwuni 4755 . . 3 (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
3735, 36sylib 208 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
38 eqid 2752 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3938rexmet 22787 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
40 eqid 2752 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4138, 40tgioo 22792 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4241mopni2 22491 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
4339, 42mp3an1 1552 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
44 elssuni 4611 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
45 uniretop 22759 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (topGen‘ran (,))
4644, 45syl6sseqr 3785 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4746sselda 3736 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 rpre 12024 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
4938bl2ioo 22788 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
5047, 48, 49syl2an 495 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
5150sseq1d 3765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴))
52 2re 11274 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
53 1lt2 11378 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
54 expnlbnd 13180 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5552, 53, 54mp3an23 1557 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5655ad2antrl 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5747ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ℝ)
58 2nn 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
59 nnnn0 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
6059ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
61 nnexpcl 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
6258, 60, 61sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
6362nnred 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
6457, 63remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
65 fllelt 12784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
6766simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)))
68 reflcl 12783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
7062nngt0d 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 0 < (2↑𝑛))
71 ledivmul2 11086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
7269, 57, 63, 70, 71syl112anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
7367, 72mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤)
74 peano2re 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
7569, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 62nndivred 11253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
7766simprd 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1))
78 ltmuldiv 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7957, 75, 63, 70, 78syl112anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8077, 79mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
8157, 76, 80ltled 10369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
8269, 62nndivred 11253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
83 elicc2 12423 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
8482, 76, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
8557, 73, 81, 84mpbir3and 1425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8664flcld 12785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ)
8722dyadval 23552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8886, 60, 87syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8988fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
90 df-ov 6808 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
9189, 90syl6eqr 2804 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
9285, 91eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)))
93 ffn 6198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0))
9423, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0)
95 fnovrn 6966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0) ∧ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
9694, 95mp3an1 1552 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
9786, 60, 96syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
98 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9998rpred 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
10057, 99resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ)
101100rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ*)
10257, 99readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ)
103102rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*)
10482, 99readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟) ∈ ℝ)
10569recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
106 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 1 ∈ ℂ)
10763recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
10862nnne0d 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
109105, 106, 107, 108divdird 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
11062nnrecred 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
111 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
112110, 99, 82, 111ltadd2dd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
113109, 112eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
11457, 76, 104, 80, 113lttrd 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
11557, 99, 82ltsubaddd 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟)))
116114, 115mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
11757, 110readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11882, 57, 110, 73leadd1dd 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
119109, 118eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
120110, 99, 57, 111ltadd2dd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑤 + 𝑟))
12176, 117, 102, 119, 120lelttrd 10379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))
122 iccssioo 12427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
123101, 103, 116, 121, 122syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
12491, 123eqsstrd 3772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
125 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
126124, 125sstrd 3746 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴)
127 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) → ([,]‘𝑧) = ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)))
128127sseq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴))
129128elrab 3496 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴))
13097, 126, 129sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})
131 funfvima2 6648 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13212, 32, 131mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
133130, 132syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
134 elunii 4585 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13592, 133, 134syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13656, 135rexlimddv 3165 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
137136expr 644 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13851, 137sylbid 230 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
139138rexlimdva 3161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
14043, 139mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
141140ex 449 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑤𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
142141ssrdv 3742 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
14337, 142eqssd 3753 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  {crab 3046  cin 3706  wss 3707  𝒫 cpw 4294  cop 4319   cuni 4580   class class class wbr 4796   × cxp 5256  dom cdm 5258  ran crn 5259  cres 5260  cima 5261  ccom 5262  Fun wfun 6035   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  +crp 12017  (,)cioo 12360  [,]cicc 12363  cfl 12777  cexp 13046  abscabs 14165  topGenctg 16292  ∞Metcxmt 19925  ballcbl 19927  MetOpencmopn 19930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-icc 12367  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944
This theorem is referenced by:  mblfinlem1  33751  mblfinlem2  33752
  Copyright terms: Public domain W3C validator