MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiid 20843
Description: Only an open set is a neighborhood of itself. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
opnneiid (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))

Proof of Theorem opnneiid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 20825 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → ∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁))
2 eqss 3599 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑥 ↔ (𝑁𝑥𝑥𝑁))
3 eleq1a 2693 . . . . . 6 (𝑥𝐽 → (𝑁 = 𝑥𝑁𝐽))
42, 3syl5bir 233 . . . . 5 (𝑥𝐽 → ((𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽))
54rexlimiv 3020 . . . 4 (∃𝑥𝐽 (𝑁𝑥𝑥𝑁) → 𝑁𝐽)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)) → 𝑁𝐽)
76ex 450 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) → 𝑁𝐽))
8 ssid 3605 . . 3 𝑁𝑁
9 opnneiss 20835 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))
1093exp 1261 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽 → (𝑁𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁))))
118, 10mpii 46 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑁𝐽𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁)))
127, 11impbid 202 1 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑁) ↔ 𝑁𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3556  cfv 5849  Topctop 20620  neicnei 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-top 20621  df-nei 20815
This theorem is referenced by:  0nei  20845
  Copyright terms: Public domain W3C validator