Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 42792
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
opnvonmbllem2.g (𝜑𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
opnvonmbl.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (𝜑𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝐺,𝑖   ,𝐾,𝑖   𝑆,,𝑖   ,𝑋,𝑖   𝜑,,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
32rrxmetfi 23942 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 22871 . . . . . . . . . 10 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
9 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
109rrxval 23917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → (ℝ^‘𝑋) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ^‘𝑋) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 23756 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^‘𝑋))
2120fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (dist‘(ℝ^‘𝑋)))
2221fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
2312, 19, 223eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
248, 23eleqtrd 2912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥𝐺)
27 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))
2827mopni2 23030 . . . . . . . 8 (((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) ∧ 𝑥𝐺) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐺) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
301ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
3231rrxtoponfi 42453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 21463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 42784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
41403adant3 1124 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
42 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
43 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
44 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑥
45 nfixp1 8470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖))
4644, 45nfel 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖 𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖))
47 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)
4845, 47nfss 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)
4946, 48nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1893 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
55543ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
56 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
58573ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
59 simp3r 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))
60 simp1r 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
61 simp3l 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
63 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝑐𝑖), (𝑑𝑖)⟩) = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝑐𝑖), (𝑑𝑖)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 42791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
65643exp 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
6665adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
67663adant2 1123 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
6867rexlimdvv 3290 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
70693exp 1111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺 → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
7170rexlimdv 3280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐺) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺 → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐺) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
73 eliun 4914 . . . . . 6 (𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7472, 73sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7574ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
76 dfss3 3953 . . . 4 (𝐺 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ ∀𝑥𝐺 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7775, 76sylibr 235 . . 3 (𝜑𝐺 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7862eleq2i 2901 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
7978biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
8079adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾) → ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
81 rabid 3376 . . . . . . 7 ( ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺} ↔ ( ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺))
8280, 81sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑𝐾) → ( ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺))
8382simprd 496 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8483ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
85 iunss 4960 . . . 4 ( 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ ∀𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8684, 85sylibr 235 . . 3 (𝜑 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8777, 86eqssd 3981 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
891, 88dmovnsal 42771 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4053 . . . . . 6 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺} ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 3998 . . . . 5 𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
93 qct 41506 . . . . . . 7 ℚ ≼ ω
9493a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
95 xpct 9430 . . . . . 6 ((ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω) → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
9694, 94, 95syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
9796, 1mpct 41340 . . . 4 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ≼ ω)
98 ssct 8586 . . . 4 ((𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
9992, 97, 98syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐾 ≼ ω)
100 reex 10616 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7465 . . . . . . . . 9 (ℝ × ℝ) ∈ V
102 qssre 12346 . . . . . . . . . 10 ℚ ⊆ ℝ
103 xpss12 5563 . . . . . . . . . 10 ((ℚ ⊆ ℝ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ))
104102, 102, 103mp2an 688 . . . . . . . . 9 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ)
105 mapss 8441 . . . . . . . . 9 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ)) → ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 688 . . . . . . . 8 ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3960 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
108106, 107sseldi 3962 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8417 . . . . . . 7 ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) → :𝑋⟶(ℝ × ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (𝐾:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
111110adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → :𝑋⟶(ℝ × ℝ))
112 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (1st ‘(𝑘)) = (1st ‘(𝑖)))
113112cbvmptv 5160 . . . . 5 (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘))) = (𝑖𝑋 ↦ (1st ‘(𝑖)))
114 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (2nd ‘(𝑘)) = (2nd ‘(𝑖)))
115114cbvmptv 5160 . . . . 5 (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘))) = (𝑖𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑖)))
116111, 113, 115hoicoto2 42764 . . . 4 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (((𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘)))‘𝑖)[,)((𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘)))‘𝑖)))
1171adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
119 xp1st 7710 . . . . . . 7 ((𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 6871 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘))):𝑋⟶ℝ)
122 xp2nd 7711 . . . . . . 7 ((𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 6871 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘))):𝑋⟶ℝ)
125117, 88, 121, 124hoimbl 42790 . . . 4 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (((𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘)))‘𝑖)[,)((𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘)))‘𝑖)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2910 . . 3 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 42484 . 2 (𝜑 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2910 1 (𝜑𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  cop 4563   ciun 4910   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677  m cmap 8395  Xcixp 8449  cdom 8495  Fincfn 8497  cr 10524  cq 12336  +crp 12377  [,)cico 12728  distcds 16562  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  ballcbl 20460  MetOpencmopn 20463  fldcrefld 20676   freeLMod cfrlm 20818  TopOnctopon 21446  toℂPreHilctcph 23698  ℝ^crrx 23913  volncvoln 42697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-prod 15248  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-phl 20698  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-tng 23121  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699  df-tcph 23700  df-rrx 23915  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-salg 42471  df-sumge0 42522  df-mea 42609  df-ome 42649  df-caragen 42651  df-ovoln 42696  df-voln 42698
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  42793
  Copyright terms: Public domain W3C validator