Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opoc1 36218
Description: Orthocomplement of orthoposet unit. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opoc1 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 opoc1.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
31, 2op0cl 36200 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4 opoc1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
51, 4opoccl 36210 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
63, 5mpdan 683 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2818 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opoc1.u . . . . 5 1 = (1.‘𝐾)
91, 7, 8ople1 36207 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 )(le‘𝐾) 1 )
106, 9mpdan 683 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ( 0 )(le‘𝐾) 1 )
111, 8op1cl 36201 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
121, 7, 4oplecon1b 36217 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 0 )(le‘𝐾) 1 ))
1311, 3, 12mpd3an23 1454 . . 3 (𝐾 ∈ OP → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 0 )(le‘𝐾) 1 ))
1410, 13mpbird 258 . 2 (𝐾 ∈ OP → ( 1 )(le‘𝐾) 0 )
151, 4opoccl 36210 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
1611, 15mpdan 683 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
171, 7, 2ople0 36203 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 1 ) = 0 ))
1816, 17mpdan 683 . 2 (𝐾 ∈ OP → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 1 ) = 0 ))
1914, 18mpbid 233 1 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  occoc 16561  0.cp0 17635  1.cp1 17636  OPcops 36188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-proset 17526  df-poset 17544  df-lub 17572  df-glb 17573  df-p0 17637  df-p1 17638  df-oposet 36192
This theorem is referenced by:  opoc0  36219  olm11  36243  1cvrco  36488  1cvrjat  36491  pol1N  36926  doch1  38375
  Copyright terms: Public domain W3C validator