Theorem opoccl 35002

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 28495 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 34990	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1137	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  occoc 16171  joincjn 17165  meetcmee 17166  0.cp0 17258  1.cp1 17259  OPcops 34980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oposet 34984

This theorem is referenced by:  opcon2b  35005  oplecon3b  35008  oplecon1b  35009  opoc1  35010  opltcon3b  35012  opltcon1b  35013  opltcon2b  35014  riotaocN  35017  oldmm1  35025  oldmm2  35026  oldmm3N  35027  oldmm4  35028  oldmj1  35029  oldmj2  35030  oldmj3  35031  oldmj4  35032  olm11  35035  latmassOLD  35037  omllaw2N  35052  omllaw4  35054  cmtcomlemN  35056  cmt2N  35058  cmt3N  35059  cmt4N  35060  cmtbr2N  35061  cmtbr3N  35062  cmtbr4N  35063  lecmtN  35064  omlfh1N  35066  omlfh3N  35067  omlspjN  35069  cvrcon3b  35085  cvrcmp2  35092  atlatmstc  35127  glbconN  35184  glbconxN  35185  cvrexch  35227  1cvrco  35279  1cvratex  35280  1cvrjat  35282  polval2N  35713  polsubN  35714  2polpmapN  35720  2polvalN  35721  poldmj1N  35735  pmapj2N  35736  polatN  35738  2polatN  35739  pnonsingN  35740  ispsubcl2N  35754  polsubclN  35759  poml4N  35760  pmapojoinN  35775  pl42lem1N  35786  lhpoc2N  35822  lhpocnle  35823  lhpmod2i2  35845  lhpmod6i1  35846  lhprelat3N  35847  trlcl  35972  trlle  35992  docaclN  36933  doca2N  36935  djajN  36946  dih1  37095  dih1dimatlem  37138  dochcl  37162  dochvalr3  37172  doch2val2  37173  dochss  37174  dochocss  37175  dochoc  37176  dochnoncon  37200  djhlj  37210