Theorem opoe 15714

Description: The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 15692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 15692	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 637	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3369	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12017	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zaddcl 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 15633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 𝑏) + 1) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
9	5, 7, 8	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)))
10		zcn 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
11		zcn 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12		addcl 10621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
13		2cn 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		adddi 10628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
16	13, 14, 15	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)))
18		adddi 10628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
19	13, 18	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
20	19	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
21	17, 20	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)))
22		2t1e2 11803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
23		df-2 11703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	22, 23	eqtri 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
25	24	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (2 · 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1))
26	21, 25	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)))
27		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
28	13, 27	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
29		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
30	13, 29	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
31		add4 10862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
32	14, 14, 31	mpanr12 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
33	28, 30, 32	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + (1 + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
34	26, 33	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
35	10, 11, 34	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑎 + 𝑏) + 1)) = (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
36	9, 35	breqtrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)))
37		oveq12 7167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 + 𝐵))
38	37	breq2d 5080	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) + ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
39	36, 38	syl5ibcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
40	39	rexlimivv 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
41	4, 40	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
42	3, 41	syl6bi 255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
43	42	imp 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))
44	43	an4s 658	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-dvds 15610

This theorem is referenced by:  sumodd  15741  pythagtriplem11  16164  prmlem0  16441  eupth2lem3lem4  28012