Theorem oppcbas 16425

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
5		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	2, 3, 4, 5	oppcval 16420	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
7	6	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
8		baseid 15966	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
9		1re 10077	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		1nn 11069	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
11		4nn0 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
12		1nn0 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		1lt10 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
14	10, 11, 12, 13	declti 11584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;14
15	9, 14	ltneii 10188	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ ;14
16		basendx 15970	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		homndx 16121	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	16, 17	neeq12i 2889	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
19	15, 18	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	8, 19	setsnid 15962	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
21		5nn 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
22		4lt5 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 < 5
23	12, 11, 21, 22	declt 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ ;14 < ;15
24		4nn 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
25	12, 24	decnncl 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;14 ∈ ℕ
26	25	nnrei 11067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;14 ∈ ℝ
27	12, 21	decnncl 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ
28	27	nnrei 11067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;15 ∈ ℝ
29	9, 26, 28	lttri 10201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < ;14 ∧ ;14 < ;15) → 1 < ;15)
30	14, 23, 29	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;15
31	9, 30	ltneii 10188	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ ;15
32		ccondx 16123	. . . . . . . 8 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
33	16, 32	neeq12i 2889	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 1 ≠ ;15)
34	31, 33	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
35	8, 34	setsnid 15962	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
36	20, 35	eqtri 2673	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
37	7, 36	syl6reqr 2704	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
38		base0 15959	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
39		fvprc 6223	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
40		fvprc 6223	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
41	5, 40	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
42	41	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘∅))
43	38, 39, 42	3eqtr4a 2711	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
44	37, 43	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
45	1, 44	eqtri 2673	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  1^st c1st 7208  2^nd c2nd 7209  tpos ctpos 7396  1c1 9975   < clt 10112  4c4 11110  5c5 11111  ;cdc 11531  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Basecbs 15904  Hom chom 15999  compcco 16000  oppCatcoppc 16418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-hom 16013  df-cco 16014  df-oppc 16419

This theorem is referenced by:  oppccatid  16426  oppchomf  16427  2oppcbas  16430  2oppccomf  16432  oppccomfpropd  16434  isepi  16447  epii  16450  oppcsect  16485  oppcsect2  16486  oppcinv  16487  oppciso  16488  sectepi  16491  episect  16492  funcoppc  16582  fulloppc  16629  fthoppc  16630  fthepi  16635  hofcl  16946  yon11  16951  yon12  16952  yon2  16953  oyon1cl  16958  yonedalem21  16960  yonedalem3a  16961  yonedalem4c  16964  yonedalem22  16965  yonedalem3b  16966  yonedalem3  16967  yonedainv  16968  yonffthlem  16969