MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchomfval 16295
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 15996 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2 1nn0 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11131 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11462 . . . . . . 7 14 ∈ ℕ
54nnrei 10973 . . . . . 6 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11255 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11132 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11144 . . . . . . 7 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 11474 . . . . . 6 14 < 15
105, 9ltneii 10094 . . . . 5 14 ≠ 15
11 homndx 15995 . . . . . 6 (Hom ‘ndx) = 14
12 ccondx 15997 . . . . . 6 (comp‘ndx) = 15
1311, 12neeq12i 2856 . . . . 5 ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 14 ≠ 15)
1410, 13mpbir 221 . . . 4 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
151, 14setsnid 15836 . . 3 (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
16 oppchom.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17 fvex 6158 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) ∈ V
1816, 17eqeltri 2694 . . . . 5 𝐻 ∈ V
1918tposex 7331 . . . 4 tpos 𝐻 ∈ V
201setsid 15835 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
2119, 20mpan2 706 . . 3 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
22 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
23 eqid 2621 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24 oppchom.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2522, 16, 23, 24oppcval 16294 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
2625fveq2d 6152 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
2715, 21, 263eqtr4a 2681 . 2 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
28 tpos0 7327 . . 3 tpos ∅ = ∅
29 fvprc 6142 . . . . 5 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
3016, 29syl5eq 2667 . . . 4 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
3130tposeqd 7300 . . 3 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
32 fvprc 6142 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
3324, 32syl5eq 2667 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
3433fveq2d 6152 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
35 df-hom 15887 . . . . 5 Hom = Slot 14
3635str0 15832 . . . 4 ∅ = (Hom ‘∅)
3734, 36syl6eqr 2673 . . 3 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
3828, 31, 373eqtr4a 2681 . 2 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
3927, 38pm2.61i 176 1 tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891  cop 4154   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  tpos ctpos 7296  1c1 9881  4c4 11016  5c5 11017  cdc 11437  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781  Hom chom 15873  compcco 15874  oppCatcoppc 16292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-hom 15887  df-cco 15888  df-oppc 16293
This theorem is referenced by:  oppchom  16296
  Copyright terms: Public domain W3C validator