Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchomfval 16295
 Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 15996 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2 1nn0 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11131 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11462 . . . . . . 7 14 ∈ ℕ
54nnrei 10973 . . . . . 6 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11255 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11132 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11144 . . . . . . 7 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 11474 . . . . . 6 14 < 15
105, 9ltneii 10094 . . . . 5 14 ≠ 15
11 homndx 15995 . . . . . 6 (Hom ‘ndx) = 14
12 ccondx 15997 . . . . . 6 (comp‘ndx) = 15
1311, 12neeq12i 2856 . . . . 5 ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 14 ≠ 15)
1410, 13mpbir 221 . . . 4 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
151, 14setsnid 15836 . . 3 (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
16 oppchom.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17 fvex 6158 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) ∈ V
1816, 17eqeltri 2694 . . . . 5 𝐻 ∈ V
1918tposex 7331 . . . 4 tpos 𝐻 ∈ V
201setsid 15835 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
2119, 20mpan2 706 . . 3 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
22 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
23 eqid 2621 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24 oppchom.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2522, 16, 23, 24oppcval 16294 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
2625fveq2d 6152 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
2715, 21, 263eqtr4a 2681 . 2 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
28 tpos0 7327 . . 3 tpos ∅ = ∅
29 fvprc 6142 . . . . 5 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
3016, 29syl5eq 2667 . . . 4 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
3130tposeqd 7300 . . 3 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
32 fvprc 6142 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
3324, 32syl5eq 2667 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
3433fveq2d 6152 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
35 df-hom 15887 . . . . 5 Hom = Slot 14
3635str0 15832 . . . 4 ∅ = (Hom ‘∅)
3734, 36syl6eqr 2673 . . 3 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
3828, 31, 373eqtr4a 2681 . 2 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
3927, 38pm2.61i 176 1 tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ⟨cop 4154   × cxp 5072  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  tpos ctpos 7296  1c1 9881  4c4 11016  5c5 11017  ;cdc 11437  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781  Hom chom 15873  compcco 15874  oppCatcoppc 16292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-hom 15887  df-cco 15888  df-oppc 16293 This theorem is referenced by:  oppchom  16296
 Copyright terms: Public domain W3C validator