Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppciso 16435
 Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
oppciso.s 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t 𝐽 = (Iso‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppciso (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 oppcsect.o . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3 oppcsect.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 oppcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 oppcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 eqid 2621 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7 eqid 2621 . . . 4 (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 16434 . . 3 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
98dmeqd 5324 . 2 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
102, 1oppcbas 16372 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑂)
112oppccat 16376 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
13 oppciso.t . . 3 𝐽 = (Iso‘𝑂)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 16419 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15 oppciso.s . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 16419 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
179, 14, 163eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  dom cdm 5112  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  Catccat 16319  oppCatcoppc 16365  Invcinv 16399  Isociso 16400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-hom 15960  df-cco 15961  df-cat 16323  df-cid 16324  df-oppc 16366  df-sect 16401  df-inv 16402  df-iso 16403 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator