MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcsect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcsect2 16561
Description: A section in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
oppcsect.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
oppcsect.t 𝑇 = (Sect‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppcsect2 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) = (𝑋𝑆𝑌))

Proof of Theorem oppcsect2
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcsect.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 oppcsect.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 16500 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑂)
4 eqid 2724 . . . 4 (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂)
5 eqid 2724 . . . 4 (comp‘𝑂) = (comp‘𝑂)
6 eqid 2724 . . . 4 (Id‘𝑂) = (Id‘𝑂)
7 oppcsect.t . . . 4 𝑇 = (Sect‘𝑂)
8 oppcsect.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
91oppccat 16504 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
11 oppcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
12 oppcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
133, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12sectss 16534 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) ⊆ ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)))
14 relxp 5235 . . 3 Rel ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋))
15 relss 5315 . . 3 ((𝑋𝑇𝑌) ⊆ ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)) → (Rel ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)) → Rel (𝑋𝑇𝑌)))
1613, 14, 15mpisyl 21 . 2 (𝜑 → Rel (𝑋𝑇𝑌))
17 relcnv 5613 . . 3 Rel (𝑋𝑆𝑌)
1817a1i 11 . 2 (𝜑 → Rel (𝑋𝑆𝑌))
19 oppcsect.s . . . 4 𝑆 = (Sect‘𝐶)
202, 1, 8, 11, 12, 19, 7oppcsect 16560 . . 3 (𝜑 → (𝑓(𝑋𝑇𝑌)𝑔𝑔(𝑋𝑆𝑌)𝑓))
21 vex 3307 . . . 4 𝑓 ∈ V
22 vex 3307 . . . 4 𝑔 ∈ V
2321, 22brcnv 5412 . . 3 (𝑓(𝑋𝑆𝑌)𝑔𝑔(𝑋𝑆𝑌)𝑓)
2420, 23syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → (𝑓(𝑋𝑇𝑌)𝑔𝑓(𝑋𝑆𝑌)𝑔))
2516, 18, 24eqbrrdv 5326 1 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) = (𝑋𝑆𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680   class class class wbr 4760   × cxp 5216  ccnv 5217  Rel wrel 5223  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  Hom chom 16075  compcco 16076  Catccat 16447  Idccid 16448  oppCatcoppc 16493  Sectcsect 16526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-hom 16089  df-cco 16090  df-cat 16451  df-cid 16452  df-oppc 16494  df-sect 16529
This theorem is referenced by:  oppcinv  16562
  Copyright terms: Public domain W3C validator