Theorem oppgcntz 18486

Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
oppgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgcntz	⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
2		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		oppggic.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 18471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
6	2, 3, 4	oppgplus 18471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)
7	5, 6	eqeq12i 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
8	1, 7	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
9	8	ralbii 3165	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
10	9	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)))
11	10	anbi2i 624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
12		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		oppgcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14	12, 13	cntzrcl 18451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
15	14	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
16	12, 2, 13	elcntz 18446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
17	15, 16	biadanii 820	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
18	3, 12	oppgbas 18473	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
20	18, 19	cntzrcl 18451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
21	20	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
22	18, 4, 19	elcntz 18446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
23	21, 22	biadanii 820	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
24	11, 17, 23	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
25	24	eqriv 2818	1 ⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Cntzccntz 18439  opp_gcoppg 18467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-cntz 18441  df-oppg 18468

This theorem is referenced by:  oppgcntr  18487  gsumzoppg  19058  gsumzinv  19059