Theorem oppggrp 18487

Description: The opposite of a group is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppggrp	⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Proof of Theorem oppggrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 18481	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2824	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 6	oppgid 18486	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
9		grpmnd 18112	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑅 ∈ Mnd)
10	1	oppgmnd 18484	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Mnd)
12		eqid 2823	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13	2, 12	grpinvcl 18153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
16	14, 1, 15	oppgplus 18479	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))
17	2, 14, 6, 12	grprinv 18155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
18	16, 17	syl5eq 2870	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑂)𝑥) = (0g‘𝑅))
19	4, 5, 8, 11, 13, 18	isgrpd2 18125	1 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Mndcmnd 17913  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  opp_gcoppg 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-oppg 18476

This theorem is referenced by:  oppggrpb  18488  oppginv  18489  invoppggim  18490  oppgtgp  22708