MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgmnd 17724
Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgmnd (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2oppgbas 17721 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqidd 2622 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (+g𝑂) = (+g𝑂))
6 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑂) = (+g𝑂)
86, 1, 7oppgplus 17719 . . 3 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑅)𝑥)
92, 6mndcl 17241 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1093com23 1268 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
118, 10syl5eqel 2702 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12 simpl 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
162, 6mndass 17242 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1712, 13, 14, 15, 16syl13anc 1325 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)))
1817eqcomd 2627 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥))
198oveq1i 6625 . . . 4 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧)
206, 1, 7oppgplus 17719 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑥)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
2119, 20eqtri 2643 . . 3 ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)(𝑦(+g𝑅)𝑥))
226, 1, 7oppgplus 17719 . . . . 5 (𝑦(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑅)𝑦)
2322oveq2i 6626 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦))
246, 1, 7oppgplus 17719 . . . 4 (𝑥(+g𝑂)(𝑧(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2523, 24eqtri 2643 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g𝑅)𝑦)(+g𝑅)𝑥)
2618, 21, 253eqtr4g 2680 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑂)𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑥(+g𝑂)(𝑦(+g𝑂)𝑧)))
27 eqid 2621 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
282, 27mndidcl 17248 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
296, 1, 7oppgplus 17719 . . 3 ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅))
302, 6, 27mndrid 17252 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)(0g𝑅)) = 𝑥)
3129, 30syl5eq 2667 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑂)𝑥) = 𝑥)
326, 1, 7oppgplus 17719 . . 3 (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥)
332, 6, 27mndlid 17251 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3432, 33syl5eq 2667 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑂)(0g𝑅)) = 𝑥)
354, 5, 11, 26, 28, 31, 34ismndd 17253 1 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Mndcmnd 17234  oppgcoppg 17715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-oppg 17716
This theorem is referenced by:  oppgmndb  17725  oppggrp  17727  gsumwrev  17736  gsumzoppg  18284  gsumzinv  18285  oppgtmd  21841
  Copyright terms: Public domain W3C validator