MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgmndb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgmndb 17766
Description: Bidirectional form of oppgmnd 17765. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppgmndb (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmndb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppgbas.1 . . 3 𝑂 = (oppg𝑅)
21oppgmnd 17765 . 2 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3 eqid 2620 . . . 4 (oppg𝑂) = (oppg𝑂)
43oppgmnd 17765 . . 3 (𝑂 ∈ Mnd → (oppg𝑂) ∈ Mnd)
5 eqid 2620 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 5oppgbas 17762 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
73, 6oppgbas 17762 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppg𝑂)))
9 eqidd 2621 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10 eqid 2620 . . . . . . . 8 (+g𝑂) = (+g𝑂)
11 eqid 2620 . . . . . . . 8 (+g‘(oppg𝑂)) = (+g‘(oppg𝑂))
1210, 3, 11oppgplus 17760 . . . . . . 7 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)
13 eqid 2620 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1413, 1, 10oppgplus 17760 . . . . . . 7 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1512, 14eqtri 2642 . . . . . 6 (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦)
1615a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘(oppg𝑂))𝑦) = (𝑥(+g𝑅)𝑦))
178, 9, 16mndpropd 17297 . . . 4 (⊤ → ((oppg𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd))
1817trud 1491 . . 3 ((oppg𝑂) ∈ Mnd ↔ 𝑅 ∈ Mnd)
194, 18sylib 208 . 2 (𝑂 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mnd)
202, 19impbii 199 1 (𝑅 ∈ Mnd ↔ 𝑂 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wtru 1482  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Mndcmnd 17275  oppgcoppg 17756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-oppg 17757
This theorem is referenced by:  oppgsubm  17773
  Copyright terms: Public domain W3C validator