MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplus 17695
Description: Value of the addition operation of an opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplus (𝑋 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)

Proof of Theorem oppgplus
StepHypRef Expression
1 oppgval.2 . . . 4 + = (+g𝑅)
2 oppgval.3 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
3 oppgplusfval.4 . . . 4 = (+g𝑂)
41, 2, 3oppgplusfval 17694 . . 3 = tpos +
54oveqi 6618 . 2 (𝑋 𝑌) = (𝑋tpos + 𝑌)
6 ovtpos 7313 . 2 (𝑋tpos + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
75, 6eqtri 2648 1 (𝑋 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  cfv 5850  (class class class)co 6605  tpos ctpos 7297  +gcplusg 15857  oppgcoppg 17691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-oppg 17692
This theorem is referenced by:  oppgmnd  17700  oppgmndb  17701  oppgid  17702  oppggrp  17703  oppggrpb  17704  oppginv  17705  invoppggim  17706  oppgsubm  17708  oppgcntz  17710  gsumwrev  17712  oppglsm  17973  gsumzoppg  18260  oppgtmd  21806  tgpconncomp  21821  qustgpopn  21828  omndaddr  29484  ogrpaddltrd  29497  ogrpaddltrbid  29498
  Copyright terms: Public domain W3C validator