MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubg 17714
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubg (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 17520 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2 subgrcl 17520 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppggrpb 17709 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
52, 4sylibr 224 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
63oppgsubm 17713 . . . . . . 7 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
76eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
103, 9oppginv 17710 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
1110fveq1d 6150 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝑂)‘𝑦))
1211eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
1312ralbidv 2980 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
148, 13anbi12d 746 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
159issubg3 17533 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16 eqid 2621 . . . . . 6 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1716issubg3 17533 . . . . 5 (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
184, 17sylbi 207 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
1914, 15, 183bitr4d 300 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
201, 5, 19pm5.21nii 368 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2120eqriv 2618 1 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cfv 5847  SubMndcsubmnd 17255  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  SubGrpcsubg 17509  oppgcoppg 17696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-oppg 17697
This theorem is referenced by:  lsmmod2  18010  lsmdisj2r  18019
  Copyright terms: Public domain W3C validator