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Theorem opphl 26467
Description: If two points 𝐴 and 𝐶 lie on the opposite side of a line 𝐷 then any point of the half line (𝑅 𝐴) also lies opposite to 𝐶. Theorem 9.5 of [Schwabhauser] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphl.a (𝜑𝐴𝑃)
opphl.b (𝜑𝐵𝑃)
opphl.c (𝜑𝐶𝑃)
opphl.1 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphl.2 (𝜑𝑅𝐷)
opphl.3 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝐵)
Assertion
Ref Expression
opphl (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphl
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
76ad8antr 736 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad8antr 736 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11 eqid 2818 . . . . . 6 ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
12 opphl.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1312ad8antr 736 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑃)
14 eqid 2818 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 simp-4r 780 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚𝑃)
16 opphl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
1716ad8antr 736 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑃)
181, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17mircl 26374 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ 𝑃)
19 simplr 765 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦𝐷)
20 simp-6r 784 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝐷)
21 opphl.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝐷)
2221ad8antr 736 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑅𝐷)
23 opphl.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
2423ad8antr 736 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶𝑃)
25 simp-8r 788 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
26 opphl.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
2726ad8antr 736 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
28 simp-7r 786 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
295, 9, 28perpln1 26423 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
301, 2, 3, 5, 9, 29, 7, 28perpcom 26426 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
31 simp-5r 782 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
325, 9, 31perpln1 26423 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) ∈ ran 𝐿)
331, 2, 3, 5, 9, 32, 7, 31perpcom 26426 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑧))
341, 5, 3, 9, 7, 25tglnpt 26262 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
351, 3, 5, 9, 17, 34, 29tglnne 26341 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑥)
361, 3, 10, 17, 17, 34, 9, 35hlid 26322 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴(𝐾𝑥)𝐴)
37 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
3837eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) = 𝑧)
391, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 38opphllem6 26465 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴(𝐾𝑥)𝐴 ↔ (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾𝑧)𝐶))
4036, 39mpbid 233 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)(𝐾𝑧)𝐶)
411, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 24, 25, 20, 15, 27, 30, 33, 17, 18, 36, 40opphllem5 26464 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
4238, 20eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥) ∈ 𝐷)
431, 2, 3, 5, 14, 9, 11, 7, 15, 25, 42mirln2 26390 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑚𝐷)
441, 2, 3, 5, 14, 9, 15, 11, 17mirmir 26375 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)) = 𝐴)
4544eqcomd 2824 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)))
461, 5, 3, 8, 6, 21tglnpt 26262 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑃)
47 opphl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝐵)
481, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47hlne1 26318 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑅)
4948ad8antr 736 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑅)
501, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 47hlne2 26319 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑅)
5150ad8antr 736 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑅)
521, 3, 10, 16, 12, 46, 8ishlg 26315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝑅)𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))))
5347, 52mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵𝑅 ∧ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))))
5453simp3d 1136 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
5554ad8antr 736 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 17, 13, 18, 22, 41, 43, 45, 49, 51, 55opphllem2 26461 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
57 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
585, 9, 57perpln1 26423 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐵𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
591, 2, 3, 5, 9, 58, 7, 57perpcom 26426 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑦))
601, 5, 3, 9, 7, 20tglnpt 26262 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝑃)
611, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40hlne1 26318 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ≠ 𝑧)
621, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 5, 40hlln 26320 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝑧))
631, 3, 5, 9, 24, 60, 32tglnne 26341 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶𝑧)
641, 3, 5, 9, 24, 60, 63tglinerflx2 26347 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐿𝑧))
651, 3, 5, 9, 18, 60, 61, 61, 32, 62, 64tglinethru 26349 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (𝐶𝐿𝑧) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
6633, 65breqtrd 5083 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷(⟂G‘𝐺)((((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴)𝐿𝑧))
671, 5, 3, 9, 7, 19tglnpt 26262 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑦𝑃)
681, 3, 5, 9, 13, 67, 58tglnne 26341 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑦)
691, 3, 10, 13, 17, 67, 9, 68hlid 26322 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵(𝐾𝑦)𝐵)
701, 3, 10, 18, 24, 60, 9, 40hlcomd 26317 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐶(𝐾𝑧)(((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝐴))
711, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 18, 19, 20, 15, 56, 59, 66, 13, 24, 69, 70opphllem5 26464 . . . . 5 (((((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
721, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26oppne1 26454 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
731, 3, 10, 16, 12, 46, 8, 5, 47hlln 26320 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
758adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7612adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
7746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝑅𝑃)
7850adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝑅)
796adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
80 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
8121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝑅𝐷)
821, 3, 5, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 81tglinethru 26349 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
8374, 82eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
8472, 83mtand 812 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
851, 2, 3, 5, 8, 6, 12, 84footex 26434 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
8685ad6antr 732 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → ∃𝑦𝐷 (𝐵𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐷)
8771, 86r19.29a 3286 . . . 4 (((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥)) → 𝐵𝑂𝐶)
888ad4antr 728 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
896ad4antr 728 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
90 simp-4r 780 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
911, 5, 3, 88, 89, 90tglnpt 26262 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
92 simplr 765 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝐷)
931, 5, 3, 88, 89, 92tglnpt 26262 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑧𝑃)
941, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26opptgdim2 26458 . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
9594ad4antr 728 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺DimTarskiG≥2)
961, 2, 3, 5, 88, 14, 91, 93, 95midex 26450 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑚𝑃 𝑧 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑥))
9787, 96r19.29a 3286 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
981, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 23, 26oppne2 26455 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
991, 2, 3, 5, 8, 6, 23, 98footex 26434 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
10099ad2antrr 722 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃𝑧𝐷 (𝐶𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐷)
10197, 100r19.29a 3286 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
1021, 2, 3, 5, 8, 6, 16, 72footex 26434 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
103101, 102r19.29a 3286 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930   class class class wbr 5057  {copab 5119  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  2c2 11680  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  DimTarskiGcstrkgld 26147  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  hlGchlg 26313  pInvGcmir 26365  ⟂Gcperpg 26408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkgld 26165  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-leg 26296  df-hlg 26314  df-mir 26366  df-rag 26407  df-perpg 26409
This theorem is referenced by:  outpasch  26468  lnopp2hpgb  26476
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