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Theorem opphllem3 25686
Description: Lemma for opphl 25691: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem3.t (𝜑𝑅𝑆)
opphllem3.l (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
opphllem3.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem3.v (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
opphllem3 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem3
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 opphl.k . . . . 5 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 opphllem3.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑃)
54ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑈𝑃)
6 opphllem5.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
76ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐴𝑃)
8 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 opphllem5.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐷)
121, 8, 2, 9, 10, 11tglnpt 25489 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑃)
1312ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝑃)
149ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15 simplr 807 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝𝑃)
16 simprl 809 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
17 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
188, 9, 17perpln2 25651 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
191, 2, 8, 9, 6, 12, 18tglnne 25568 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑅)
2019ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐴𝑅)
21 hpg.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
22 opphllem5.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2322ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐶𝑃)
24 opphllem5.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝐷)
251, 8, 2, 9, 10, 24tglnpt 25489 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝑃)
2625ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝑃)
27 simprr 811 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))
281, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27tgcgrcomlr 25420 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶 𝑆) = (𝑝 𝑅))
29 opphllem5.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
3029ad4antr 769 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
318, 14, 30perpln2 25651 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
321, 2, 8, 14, 23, 26, 31tglnne 25568 . . . . . 6 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐶𝑆)
331, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32tgcgrneq 25423 . . . . 5 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑝𝑅)
341, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33hlbtwn 25551 . . . 4 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴𝑈(𝐾𝑅)𝑝))
35 eqid 2651 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
3614adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37 opphllem5.n . . . . . . 7 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
38 opphllem5.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑃)
3938ad5antr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑀𝑃)
405adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑈𝑃)
4115adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑝𝑃)
4213adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑅𝑃)
43 simpr 476 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → 𝑈(𝐾𝑅)𝑝)
441, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43mirhl 25619 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈)(𝐾‘(𝑁𝑅))(𝑁𝑝))
45 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈) = (𝑁𝑈))
46 opphllem3.v . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) = 𝑆)
4746ad5antr 773 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
4847fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝐾‘(𝑁𝑅)) = (𝐾𝑆))
49 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))
5014ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚𝑃)
5238ad6antr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑀𝑃)
5326ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑆𝑃)
5413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅𝑃)
55 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆))
5655eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
5737fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑆) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆)
581, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46mircom 25603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁𝑆) = 𝑅)
5957, 58syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
6059ad6antr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑀)‘𝑆) = 𝑅)
611, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60miduniq 25625 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → 𝑚 = 𝑀)
6261fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀))
6362, 37syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = 𝑁)
6463fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝) = (𝑁𝑝))
6549, 64eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑚𝑃) ∧ (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝))) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
66 opphllem3.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝑆)
6766ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝑆)
6867necomd 2878 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝑅)
6910ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
70 simp-4r 824 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡𝐷)
711, 8, 2, 14, 69, 70tglnpt 25489 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡𝑃)
7224ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑆𝐷)
7311ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑅𝐷)
741, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73tglinethru 25576 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
7517ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
7674, 75eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
771, 2, 8, 14, 23, 26, 32tglinecom 25575 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
7830, 74, 773brtr3d 4716 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑆𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
7970, 74eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
80 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
811, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27opphllem 25672 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → ∃𝑚𝑃 (𝑅 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) ∧ 𝐶 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑝)))
8265, 81r19.29a 3107 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
8382adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
8445, 48, 83breq123d 4699 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → ((𝑁𝑈)(𝐾‘(𝑁𝑅))(𝑁𝑝) ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
8544, 84mpbid 222 . . . . 5 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝) → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶)
8614adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8738ad5antr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑀𝑃)
881, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4mircl 25601 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
8988ad5antr 773 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑈) ∈ 𝑃)
9023adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝐶𝑃)
9126adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑆𝑃)
92 simpr 476 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶)
931, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92mirhl 25619 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾‘(𝑁𝑆))(𝑁𝐶))
945adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑈𝑃)
951, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94mirmir 25602 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = 𝑈)
9613adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑅𝑃)
9746ad5antr 773 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑅) = 𝑆)
981, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97mircom 25603 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑆) = 𝑅)
9998fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝐾‘(𝑁𝑆)) = (𝐾𝑅))
10015adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑝𝑃)
10182adantr 480 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝑝) = 𝐶)
1021, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101mircom 25603 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → (𝑁𝐶) = 𝑝)
10395, 99, 102breq123d 4699 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → ((𝑁‘(𝑁𝑈))(𝐾‘(𝑁𝑆))(𝑁𝐶) ↔ 𝑈(𝐾𝑅)𝑝))
10493, 103mpbid 222 . . . . 5 ((((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) ∧ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶) → 𝑈(𝐾𝑅)𝑝)
10585, 104impbida 895 . . . 4 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝑝 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
10634, 105bitrd 268 . . 3 (((((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
107 opphllem3.l . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
108 eqid 2651 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1091, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6legov 25525 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝))))
110107, 109mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝)))
111110ad2antrr 762 . . 3 (((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ (𝑅𝐼𝐴) ∧ (𝑆 𝐶) = (𝑅 𝑝)))
112106, 111r19.29a 3107 . 2 (((𝜑𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
113 opphllem5.o . . . 4 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
114 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
1151, 21, 2, 114, 6, 22islnopp 25676 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
116113, 115mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
117116simprd 478 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
118112, 117r19.29a 3107 1 (𝜑 → (𝑈(𝐾𝑅)𝐴 ↔ (𝑁𝑈)(𝐾𝑆)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604   class class class wbr 4685  {copab 4745  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  ≤Gcleg 25522  hlGchlg 25540  pInvGcmir 25592  ⟂Gcperpg 25635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-hlg 25541  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636
This theorem is referenced by:  opphllem4  25687  opphllem6  25689
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