MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem5 25361
Description: Second part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem5.v (𝜑𝑉𝑃)
opphllem5.1 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
opphllem5.2 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
Assertion
Ref Expression
opphllem5 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8 opphllem5.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐷)
9 opphllem5.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
10 opphllem5.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑃)
11 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
121, 4, 3, 5, 6, 8tglnpt 25162 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑃)
13 opphllem5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
141, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlne2 25219 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
151, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinecom 25248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) = (𝑅𝐿𝐴))
1611, 15breqtrd 4603 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝐴))
171, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlcomd 25217 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17hlperpnel 25335 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈𝐷)
1918ad3antrrr 761 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑈𝐷)
20 opphllem5.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐷)
21 opphllem5.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
22 opphllem5.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉𝑃)
23 opphllem5.q . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
241, 4, 3, 5, 6, 20tglnpt 25162 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑃)
25 opphllem5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
261, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlne2 25219 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑆)
271, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinecom 25248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
2823, 27breqtrd 4603 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
291, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlcomd 25217 . . . . . . 7 (𝜑𝐶(𝐾𝑆)𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 28, 29hlperpnel 25335 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑉𝐷)
3130ad3antrrr 761 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑉𝐷)
32 simplr 787 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝐷)
33 simpr 475 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
34 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
355ad3antrrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3721ad3antrrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
3837adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐶𝑃)
3912ad3antrrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝑃)
4039adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑃)
416ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
421, 4, 3, 35, 41, 32tglnpt 25162 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝑃)
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝑃)
449ad3antrrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐴𝑃)
4624ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆𝑃)
4746adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑆𝑃)
48 simpllr 794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
491, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinerflx2 25247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5049ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5148, 50eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5251adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
531, 3, 4, 5, 21, 24, 26tgelrnln 25243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 53, 23perpcom 25326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
5554ad4antr 763 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
56 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑡)
5741adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
588ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝐷)
5958adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝐷)
6032adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝐷)
611, 3, 4, 36, 40, 43, 56, 56, 57, 59, 60tglinethru 25249 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
6255, 61breqtrd 4603 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
631, 2, 3, 4, 36, 38, 47, 52, 43, 62perprag 25336 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
641, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinerflx2 25247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6564ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6665adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
671, 3, 4, 5, 9, 12, 14tgelrnln 25243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
681, 2, 3, 4, 5, 6, 67, 11perpcom 25326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
6968ad4antr 763 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
7069, 61breqtrd 4603 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
711, 2, 3, 4, 36, 45, 40, 66, 43, 70perprag 25336 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
72 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
731, 2, 3, 36, 45, 43, 38, 72tgbtwncom 25100 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
741, 2, 3, 4, 34, 36, 38, 40, 43, 45, 63, 71, 73ragflat2 25316 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
7533, 74pm2.61dane 2868 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
7610ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑃)
7722ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉𝑃)
7817ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
7925ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
8048fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐾𝑅) = (𝐾𝑆))
8180breqd 4588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑉(𝐾𝑅)𝐶𝑉(𝐾𝑆)𝐶))
8279, 81mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑅)𝐶)
831, 3, 7, 77, 37, 39, 35, 82hlcomd 25217 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾𝑅)𝑉)
84 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
8575, 84eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
861, 2, 3, 35, 44, 39, 37, 85tgbtwncom 25100 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
871, 3, 7, 37, 77, 44, 35, 39, 83, 86btwnhl 25227 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑉𝐼𝐴))
881, 2, 3, 35, 77, 39, 44, 87tgbtwncom 25100 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝑉))
891, 3, 7, 44, 76, 77, 35, 39, 78, 88btwnhl 25227 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9075, 89eqeltrrd 2688 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
91 rspe 2985 . . . . . 6 ((𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9232, 90, 91syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9319, 31, 92jca31 554 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)))
94 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
951, 2, 3, 94, 10, 22islnopp 25349 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9695ad3antrrr 761 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9793, 96mpbird 245 . . 3 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
98 opphllem5.o . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
991, 2, 3, 94, 9, 21islnopp 25349 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
10098, 99mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
101100simprd 477 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
102101adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10397, 102r19.29a 3059 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
1046ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1055ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
106 eqid 2609 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
1079ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑃)
10821ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐶𝑃)
1098ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝐷)
11020ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆𝐷)
111 simpllr 794 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑚𝑃)
11298ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
11311ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
11423ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
115 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
116115ad3antrrr 761 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝑆)
117 simpr 475 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
11810ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑃)
119 simplr 787 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
120119eqcomd 2615 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
12122ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉𝑃)
12213ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
12325ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
1241, 2, 3, 94, 4, 104, 105, 7, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 120, 121, 122, 123opphllem4 25360 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑂𝑉)
1256ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1265adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
127126ad3antrrr 761 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12822ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑃)
12910ad4antr 763 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑃)
13021ad4antr 763 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑃)
1319adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐴𝑃)
132131ad3antrrr 761 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑃)
13320adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝐷)
134133ad3antrrr 761 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝐷)
1358adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝐷)
136135ad3antrrr 761 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝐷)
137 simpllr 794 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑚𝑃)
13898ad4antr 763 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
1391, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 132, 130, 138oppcom 25354 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
14023ad4antr 763 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
14111adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
142141ad3antrrr 761 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
143115necomd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑅)
144143ad3antrrr 761 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝑅)
145 simpr 475 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶))
14612adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑃)
147146ad3antrrr 761 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝑃)
148 simplr 787 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
149148eqcomd 2615 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
1501, 2, 3, 4, 34, 127, 137, 106, 147, 149mircom 25276 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
15125ad4antr 763 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
15213ad4antr 763 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
1531, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 7, 106, 130, 132, 134, 136, 137, 139, 140, 142, 144, 145, 128, 150, 129, 151, 152opphllem4 25360 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑂𝑈)
1541, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 128, 129, 153oppcom 25354 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
155 eqid 2609 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1561, 2, 3, 155, 5, 24, 21, 12, 9legtrid 25204 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
157156ad3antrrr 761 . . . 4 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
158124, 154, 157mpjaodan 822 . . 3 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → 𝑈𝑂𝑉)
15924adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑃)
1601, 2, 3, 94, 4, 6, 5, 9, 21, 98opptgdim2 25355 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
161160adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1621, 2, 3, 4, 126, 34, 146, 159, 161midex 25347 . . 3 ((𝜑𝑅𝑆) → ∃𝑚𝑃 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
163158, 162r19.29a 3059 . 2 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
164103, 163pm2.61dane 2868 1 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536   class class class wbr 4577  {copab 4636  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  2c2 10917  Basecbs 15641  distcds 15723  TarskiGcstrkg 25046  DimTarskiGcstrkgld 25050  Itvcitv 25052  LineGclng 25053  ≤Gcleg 25195  hlGchlg 25213  pInvGcmir 25265  ⟂Gcperpg 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-trkgc 25064  df-trkgb 25065  df-trkgcb 25066  df-trkgld 25068  df-trkg 25069  df-cgrg 25124  df-leg 25196  df-hlg 25214  df-mir 25266  df-rag 25307  df-perpg 25309
This theorem is referenced by:  opphl  25364
  Copyright terms: Public domain W3C validator