MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem5 25688
Description: Second part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem5.v (𝜑𝑉𝑃)
opphllem5.1 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
opphllem5.2 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
Assertion
Ref Expression
opphllem5 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8 opphllem5.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐷)
9 opphllem5.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
10 opphllem5.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑃)
11 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
121, 4, 3, 5, 6, 8tglnpt 25489 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑃)
13 opphllem5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
141, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlne2 25546 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
151, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinecom 25575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) = (𝑅𝐿𝐴))
1611, 15breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝐴))
171, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlcomd 25544 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17hlperpnel 25662 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈𝐷)
1918ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑈𝐷)
20 opphllem5.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐷)
21 opphllem5.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
22 opphllem5.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉𝑃)
23 opphllem5.q . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
241, 4, 3, 5, 6, 20tglnpt 25489 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑃)
25 opphllem5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
261, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlne2 25546 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑆)
271, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinecom 25575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
2823, 27breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
291, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlcomd 25544 . . . . . . 7 (𝜑𝐶(𝐾𝑆)𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 28, 29hlperpnel 25662 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑉𝐷)
3130ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑉𝐷)
32 simplr 807 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝐷)
33 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
34 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
355ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3721ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐶𝑃)
3912ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝑃)
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑃)
416ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
421, 4, 3, 35, 41, 32tglnpt 25489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝑃)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝑃)
449ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐴𝑃)
4624ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆𝑃)
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑆𝑃)
48 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
491, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinerflx2 25574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5049ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5148, 50eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
531, 3, 4, 5, 21, 24, 26tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
541, 2, 3, 4, 5, 6, 53, 23perpcom 25653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
5554ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑡)
5741adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
588ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝐷)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝐷)
6032adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝐷)
611, 3, 4, 36, 40, 43, 56, 56, 57, 59, 60tglinethru 25576 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
6255, 61breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
631, 2, 3, 4, 36, 38, 47, 52, 43, 62perprag 25663 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
641, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinerflx2 25574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6564ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
671, 3, 4, 5, 9, 12, 14tgelrnln 25570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
681, 2, 3, 4, 5, 6, 67, 11perpcom 25653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
6968ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
7069, 61breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
711, 2, 3, 4, 36, 45, 40, 66, 43, 70perprag 25663 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
72 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
731, 2, 3, 36, 45, 43, 38, 72tgbtwncom 25428 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
741, 2, 3, 4, 34, 36, 38, 40, 43, 45, 63, 71, 73ragflat2 25643 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
7533, 74pm2.61dane 2910 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
7610ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑃)
7722ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉𝑃)
7817ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
7925ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
8048fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐾𝑅) = (𝐾𝑆))
8180breqd 4696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑉(𝐾𝑅)𝐶𝑉(𝐾𝑆)𝐶))
8279, 81mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑅)𝐶)
831, 3, 7, 77, 37, 39, 35, 82hlcomd 25544 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾𝑅)𝑉)
84 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
8575, 84eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
861, 2, 3, 35, 44, 39, 37, 85tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
871, 3, 7, 37, 77, 44, 35, 39, 83, 86btwnhl 25554 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑉𝐼𝐴))
881, 2, 3, 35, 77, 39, 44, 87tgbtwncom 25428 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝑉))
891, 3, 7, 44, 76, 77, 35, 39, 78, 88btwnhl 25554 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9075, 89eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
91 rspe 3032 . . . . . 6 ((𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9232, 90, 91syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9319, 31, 92jca31 556 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)))
94 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
951, 2, 3, 94, 10, 22islnopp 25676 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9695ad3antrrr 766 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9793, 96mpbird 247 . . 3 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
98 opphllem5.o . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
991, 2, 3, 94, 9, 21islnopp 25676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
10098, 99mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
101100simprd 478 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
102101adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10397, 102r19.29a 3107 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
1046ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1055ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
106 eqid 2651 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
1079ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑃)
10821ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐶𝑃)
1098ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝐷)
11020ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆𝐷)
111 simpllr 815 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑚𝑃)
11298ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
11311ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
11423ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
115 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
116115ad3antrrr 766 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝑆)
117 simpr 476 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
11810ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑃)
119 simplr 807 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
120119eqcomd 2657 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
12122ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉𝑃)
12213ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
12325ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
1241, 2, 3, 94, 4, 104, 105, 7, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 120, 121, 122, 123opphllem4 25687 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑂𝑉)
1256ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1265adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
127126ad3antrrr 766 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12822ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑃)
12910ad4antr 769 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑃)
13021ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑃)
1319adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐴𝑃)
132131ad3antrrr 766 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑃)
13320adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝐷)
134133ad3antrrr 766 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝐷)
1358adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝐷)
136135ad3antrrr 766 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝐷)
137 simpllr 815 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑚𝑃)
13898ad4antr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
1391, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 132, 130, 138oppcom 25681 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
14023ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
14111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
142141ad3antrrr 766 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
143115necomd 2878 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑅)
144143ad3antrrr 766 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝑅)
145 simpr 476 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶))
14612adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑃)
147146ad3antrrr 766 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝑃)
148 simplr 807 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
149148eqcomd 2657 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
1501, 2, 3, 4, 34, 127, 137, 106, 147, 149mircom 25603 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
15125ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
15213ad4antr 769 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
1531, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 7, 106, 130, 132, 134, 136, 137, 139, 140, 142, 144, 145, 128, 150, 129, 151, 152opphllem4 25687 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑂𝑈)
1541, 2, 3, 94, 4, 125, 127, 128, 129, 153oppcom 25681 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
155 eqid 2651 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1561, 2, 3, 155, 5, 24, 21, 12, 9legtrid 25531 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
157156ad3antrrr 766 . . . 4 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
158124, 154, 157mpjaodan 844 . . 3 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → 𝑈𝑂𝑉)
15924adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑃)
1601, 2, 3, 94, 4, 6, 5, 9, 21, 98opptgdim2 25682 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
161160adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1621, 2, 3, 4, 126, 34, 146, 159, 161midex 25674 . . 3 ((𝜑𝑅𝑆) → ∃𝑚𝑃 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
163158, 162r19.29a 3107 . 2 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
164103, 163pm2.61dane 2910 1 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604   class class class wbr 4685  {copab 4745  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  2c2 11108  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  DimTarskiGcstrkgld 25378  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  ≤Gcleg 25522  hlGchlg 25540  pInvGcmir 25592  ⟂Gcperpg 25635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkgld 25396  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-hlg 25541  df-mir 25593  df-rag 25634  df-perpg 25636
This theorem is referenced by:  opphl  25691
  Copyright terms: Public domain W3C validator