MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 26466
Description: Restating colperpex 26446 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1 (𝜑𝐴𝐷)
oppperpex.2 (𝜑𝐶𝑃)
oppperpex.3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
oppperpex.4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 777 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
109ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 26262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑃)
12 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 26262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝑃)
14 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 26349 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
1615adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
171, 16breqtrrd 5085 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
1918ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
216adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴𝐷)
24 simprl 767 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 26436 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝𝐷)
2614ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑥)
2726neneqd 3018 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
2928orcomd 865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3029ord 858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
3215ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
3331, 32eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡𝐷)
34 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3533, 34jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3635ex 413 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
3736reximdv2 3268 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3837impr 455 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3938anasss 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
4019, 25, 39jca31 515 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
41 hpg.o . . . . . . . 8 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
42 oppperpex.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝑃)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐶𝑃)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶𝑃)
45 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝𝑃)
462, 20, 3, 41, 44, 45islnopp 26452 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4746adantrr 713 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4847anasss 467 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4940, 48mpbird 258 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
5017, 49jca 512 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
51 oppperpex.4 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
5251ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
532, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52colperpex 26446 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5450, 53reximddv 3272 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
552, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 26354 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 𝐴𝑥)
5654, 55r19.29a 3286 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930   class class class wbr 5057  {copab 5119  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  2c2 11680  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  DimTarskiGcstrkgld 26147  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  hlGchlg 26313  ⟂Gcperpg 26408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkgld 26165  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-leg 26296  df-mir 26366  df-rag 26407  df-perpg 26409
This theorem is referenced by:  lnperpex  26516
  Copyright terms: Public domain W3C validator