Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprdrng 18687
 Description: The opposite of a division ring is also a division ring. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdrng.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprdrng (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)

Proof of Theorem opprdrng
StepHypRef Expression
1 opprdrng.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprringb 18548 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
32anbi1i 730 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
4 eqid 2626 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2626 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2626 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
74, 5, 6isdrng 18667 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
81, 4opprbas 18545 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
95, 1opprunit 18577 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑂)
101, 6oppr0 18549 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
118, 9, 10isdrng 18667 . 2 (𝑂 ∈ DivRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
123, 7, 113bitr4i 292 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ∖ cdif 3557  {csn 4153  ‘cfv 5850  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Ringcrg 18463  opprcoppr 18538  Unitcui 18555  DivRingcdr 18663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-drng 18665 This theorem is referenced by:  isdrngrd  18689  lduallvec  33907
 Copyright terms: Public domain W3C validator