MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprdrng 19455
Description: The opposite of a division ring is also a division ring. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdrng.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprdrng (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)

Proof of Theorem opprdrng
StepHypRef Expression
1 opprdrng.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprringb 19311 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
32anbi1i 623 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
4 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2818 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2818 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
74, 5, 6isdrng 19435 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
81, 4opprbas 19308 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
95, 1opprunit 19340 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑂)
101, 6oppr0 19312 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
118, 9, 10isdrng 19435 . 2 (𝑂 ∈ DivRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
123, 7, 113bitr4i 304 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑂 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  opprcoppr 19301  Unitcui 19318  DivRingcdr 19431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-drng 19433
This theorem is referenced by:  isdrngrd  19457  lduallvec  36170
  Copyright terms: Public domain W3C validator