Theorem opprlem 19381

Description: Lemma for opprbas 19382 and oppradd 19383. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16512	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11650	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10756	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 16511	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 16618	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 3085	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16542	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 19377	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6676	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2850	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ⟨cop 4576   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  tpos ctpos 7894   < clt 10678  ℕcn 11641  3c3 11696  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Slot cslot 16485  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569  opp_rcoppr 19375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-mulr 16582  df-oppr 19376

This theorem is referenced by:  opprbas  19382  oppradd  19383