MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 19304
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2 · = (.r𝑅)
opprval.3 𝑂 = (oppr𝑅)
opprmulfval.4 = (.r𝑂)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 = (.r𝑂)
2 opprval.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
32fvexi 6677 . . . . . 6 · ∈ V
43tposex 7915 . . . . 5 tpos · ∈ V
5 mulrid 16604 . . . . . 6 .r = Slot (.r‘ndx)
65setsid 16526 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
74, 6mpan2 687 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8 opprval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
108, 2, 9opprval 19303 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
1110fveq2i 6666 . . . 4 (.r𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
127, 11syl6reqr 2872 . . 3 (𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
13 tpos0 7911 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
145str0 16523 . . . . 5 ∅ = (.r‘∅)
1513, 14eqtr2i 2842 . . . 4 (.r‘∅) = tpos ∅
16 fvprc 6656 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (oppr𝑅) = ∅)
179, 16syl5eq 2865 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6667 . . . 4 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = (.r‘∅))
19 fvprc 6656 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (.r𝑅) = ∅)
202, 19syl5eq 2865 . . . . 5 𝑅 ∈ V → · = ∅)
2120tposeqd 7884 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
2215, 18, 213eqtr4a 2879 . . 3 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
2312, 22pm2.61i 183 . 2 (.r𝑂) = tpos ·
241, 23eqtri 2841 1 = tpos ·
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  tpos ctpos 7880  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  opprcoppr 19301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-sets 16478  df-mulr 16567  df-oppr 19302
This theorem is referenced by:  opprmul  19305
  Copyright terms: Public domain W3C validator