Theorem opprmulfval 18448

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
5	4	tposex 7273	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
6		mulrid 15822	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7	6	setsid 15742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8	5, 7	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
11	9, 2, 10	opprval 18447	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
12	11	fveq2i 6106	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
13	8, 12	syl6reqr 2663	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
14		tpos0 7269	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
15	6	str0 15739	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
16	14, 15	eqtr2i 2633	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
17		fvprc 6097	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
18	10, 17	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
19	18	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
20		fvprc 6097	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
21	2, 20	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
22	21	tposeqd 7242	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
23	16, 19, 22	3eqtr4a 2670	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
24	13, 23	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
25	1, 24	eqtri 2632	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  tpos ctpos 7238  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  opp_rcoppr 18445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-mulr 15782  df-oppr 18446

This theorem is referenced by:  opprmul  18449