Theorem opprmulfval 18671

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		fvex 6239	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2726	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
5	4	tposex 7431	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
6		mulrid 16044	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7	6	setsid 15961	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8	5, 7	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
11	9, 2, 10	opprval 18670	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
12	11	fveq2i 6232	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
13	8, 12	syl6reqr 2704	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
14		tpos0 7427	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
15	6	str0 15958	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
16	14, 15	eqtr2i 2674	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
17		fvprc 6223	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
18	10, 17	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
19	18	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
20		fvprc 6223	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
21	2, 20	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
22	21	tposeqd 7400	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
23	16, 19, 22	3eqtr4a 2711	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
24	13, 23	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
25	1, 24	eqtri 2673	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  ⟨cop 4216  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  tpos ctpos 7396  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989  opp_rcoppr 18668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-sets 15911  df-mulr 16002  df-oppr 18669

This theorem is referenced by:  opprmul  18672