MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 18671
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2 · = (.r𝑅)
opprval.3 𝑂 = (oppr𝑅)
opprmulfval.4 = (.r𝑂)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 = (.r𝑂)
2 opprval.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
3 fvex 6239 . . . . . . 7 (.r𝑅) ∈ V
42, 3eqeltri 2726 . . . . . 6 · ∈ V
54tposex 7431 . . . . 5 tpos · ∈ V
6 mulrid 16044 . . . . . 6 .r = Slot (.r‘ndx)
76setsid 15961 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
85, 7mpan2 707 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9 opprval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
119, 2, 10opprval 18670 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
1211fveq2i 6232 . . . 4 (.r𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
138, 12syl6reqr 2704 . . 3 (𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
14 tpos0 7427 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
156str0 15958 . . . . 5 ∅ = (.r‘∅)
1614, 15eqtr2i 2674 . . . 4 (.r‘∅) = tpos ∅
17 fvprc 6223 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (oppr𝑅) = ∅)
1810, 17syl5eq 2697 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1918fveq2d 6233 . . . 4 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = (.r‘∅))
20 fvprc 6223 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (.r𝑅) = ∅)
212, 20syl5eq 2697 . . . . 5 𝑅 ∈ V → · = ∅)
2221tposeqd 7400 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
2316, 19, 223eqtr4a 2711 . . 3 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
2413, 23pm2.61i 176 . 2 (.r𝑂) = tpos ·
251, 24eqtri 2673 1 = tpos ·
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  tpos ctpos 7396  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  opprcoppr 18668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-sets 15911  df-mulr 16002  df-oppr 18669
This theorem is referenced by:  opprmul  18672
  Copyright terms: Public domain W3C validator