MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprringb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprringb 19311
Description: Bidirectional form of opprring 19310. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprringb (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprring 19310 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
3 eqid 2818 . . . 4 (oppr𝑂) = (oppr𝑂)
43opprring 19310 . . 3 (𝑂 ∈ Ring → (oppr𝑂) ∈ Ring)
5 eqidd 2819 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
71, 6opprbas 19308 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
83, 7opprbas 19308 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂))
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂)))
10 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111, 10oppradd 19309 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑂)
123, 11oppradd 19309 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑂))
1312oveqi 7158 . . . . . 6 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦))
15 eqid 2818 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
16 eqid 2818 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑂)) = (.r‘(oppr𝑂))
177, 15, 3, 16opprmul 19305 . . . . . . 7 (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦) = (𝑦(.r𝑂)𝑥)
18 eqid 2818 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
196, 18, 1, 15opprmul 19305 . . . . . . 7 (𝑦(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
2017, 19eqtr2i 2842 . . . . . 6 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦)
2120a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦))
225, 9, 14, 21ringpropd 19261 . . . 4 (⊤ → (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring))
2322mptru 1535 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring)
244, 23sylibr 235 . 2 (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
252, 24impbii 210 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Ringcrg 19226  opprcoppr 19301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302
This theorem is referenced by:  opprdrng  19455  opprsubrg  19485  rhmopp  30819
  Copyright terms: Public domain W3C validator