MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprringb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprringb 18398
Description: Bidirectional form of opprring 18397. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprringb (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3 𝑂 = (oppr𝑅)
21opprring 18397 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
3 eqid 2606 . . . 4 (oppr𝑂) = (oppr𝑂)
43opprring 18397 . . 3 (𝑂 ∈ Ring → (oppr𝑂) ∈ Ring)
5 eqidd 2607 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6 eqid 2606 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
71, 6opprbas 18395 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
83, 7opprbas 18395 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂))
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂)))
10 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111, 10oppradd 18396 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑂)
123, 11oppradd 18396 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑂))
1312oveqi 6537 . . . . . 6 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr𝑂))𝑦))
15 eqid 2606 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
16 eqid 2606 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑂)) = (.r‘(oppr𝑂))
177, 15, 3, 16opprmul 18392 . . . . . . 7 (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦) = (𝑦(.r𝑂)𝑥)
18 eqid 2606 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
196, 18, 1, 15opprmul 18392 . . . . . . 7 (𝑦(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
2017, 19eqtr2i 2629 . . . . . 6 (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦)
2120a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑦))
225, 9, 14, 21ringpropd 18348 . . . 4 (⊤ → (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring))
2322trud 1483 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr𝑂) ∈ Ring)
244, 23sylibr 222 . 2 (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
252, 24impbii 197 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  Ringcrg 18313  opprcoppr 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-tpos 7213  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389
This theorem is referenced by:  opprdrng  18537  opprsubrg  18567  rhmopp  28953
  Copyright terms: Public domain W3C validator