Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubg 18856
 Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubg (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 18849 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
51, 4oppradd 18850 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
63, 5grpprop 17659 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7 biid 251 . . . 4 (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8 vex 3343 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
9 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑅s 𝑥) = (𝑅s 𝑥)
109, 2ressbas 16152 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥)))
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥))
12 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑂s 𝑥) = (𝑂s 𝑥)
1312, 3ressbas 16152 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥)))
148, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
1511, 14eqtr3i 2784 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝑥)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
169, 4ressplusg 16215 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑅s 𝑥)))
1712, 5ressplusg 16215 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1816, 17eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
198, 18ax-mp 5 . . . . 5 (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥))
2015, 19grpprop 17659 . . . 4 ((𝑅s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp)
216, 7, 203anbi123i 1159 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
222issubg 17815 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp))
233issubg 17815 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
2421, 22, 233bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2524eqriv 2757 1 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079   ↾s cress 16080  +gcplusg 16163  Grpcgrp 17643  SubGrpcsubg 17809  opprcoppr 18842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-oppr 18843 This theorem is referenced by:  opprsubrg  19023
 Copyright terms: Public domain W3C validator