Theorem opprunit 19413

Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
opprunit.2	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprunit	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Proof of Theorem opprunit

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprunit.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 19381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
6		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑆)) = (.r‘(oppr‘𝑆))
7	3, 4, 5, 6	opprmul 19378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦)
8		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	2, 8, 1, 4	opprmul 19378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
10	7, 9	eqtr2i 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥)
11	10	eqeq1i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
12	11	rexbii 3249	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
13	12	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
14		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	2, 14, 8	dvdsr 19398	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
16	5, 3	opprbas 19381	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑆))
17		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
18	16, 17, 6	dvdsr 19398	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
19	13, 15, 18	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅))
20	19	anbi2ci 626	. . 3 ⊢ ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
21		opprunit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
24	21, 22, 14, 1, 23	isunit 19409	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
25		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
26	1, 22	oppr1 19386	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)
27	25, 26, 23, 5, 17	isunit 19409	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑆) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
28	20, 24, 27	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑆))
29	28	eqriv 2820	1 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  1_rcur 19253  opp_rcoppr 19374  ∥_rcdsr 19390  Unitcui 19391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394

This theorem is referenced by:  opprirred  19454  irredlmul  19460  opprdrng  19528  ply1divalg2  24734