Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprabex 7101
 Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1 𝐴 ∈ V
oprabex.2 𝐵 ∈ V
oprabex.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
oprabex.4 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
Assertion
Ref Expression
oprabex 𝐹 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
2 oprabex.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑)
3 moanimv 2530 . . . . 5 (∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃*𝑧𝜑))
42, 3mpbir 221 . . . 4 ∃*𝑧((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)
54funoprab 6713 . . 3 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)}
6 oprabex.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
7 oprabex.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
86, 7xpex 6915 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
9 dmoprabss 6695 . . . 4 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
108, 9ssexi 4763 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
11 funex 6436 . . 3 ((Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V)
125, 10, 11mp2an 707 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ∈ V
131, 12eqeltri 2694 1 𝐹 ∈ V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃*wmo 2470  Vcvv 3186   × cxp 5072  dom cdm 5074  Fun wfun 5841  {coprab 6605 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-oprab 6608 This theorem is referenced by:  oprabex3  7102  joinfval  16922  meetfval  16936
 Copyright terms: Public domain W3C validator