Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslem 19399
 Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslem.1 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslem.2 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslem.3 𝑁 < 10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
4 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
5 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
6 opsrbas.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 19398 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
98fveq2d 6154 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
10 opsrbaslem.1 . . . . 5 𝐸 = Slot 𝑁
11 opsrbaslem.2 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 15808 . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1311nnrei 10976 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6 𝑁 < 10
1513, 14ltneii 10097 . . . . 5 𝑁10
1610, 11ndxarg 15807 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) = 𝑁
17 plendx 15971 . . . . . 6 (le‘ndx) = 10
1816, 17neeq12i 2856 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁10)
1915, 18mpbir 221 . . . 4 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
2012, 19setsnid 15839 . . 3 (𝐸𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
219, 20syl6reqr 2674 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
22 0fv 6186 . . . . . . 7 (∅‘𝑇) = ∅
2322eqcomi 2630 . . . . . 6 ∅ = (∅‘𝑇)
24 reldmpsr 19283 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
2524ovprc 6639 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26 reldmopsr 19395 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
2726ovprc 6639 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
2827fveq1d 6152 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
2923, 25, 283eqtr4a 2681 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3029adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3130, 1, 23eqtr4g 2680 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
3231fveq2d 6154 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
3321, 32pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ⊆ wss 3556  ∅c0 3893  ⟨cop 4156   class class class wbr 4615   × cxp 5074  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883  1c1 9884   < clt 10021  ℕcn 10967  ;cdc 11440  ndxcnx 15781   sSet csts 15782  Slot cslot 15783  lecple 15872   mPwSer cmps 19273   ordPwSer copws 19277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-ltxr 10026  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-dec 11441  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ple 15885  df-psr 19278  df-opsr 19282 This theorem is referenced by:  opsrbas  19401  opsrplusg  19402  opsrmulr  19403  opsrvsca  19404  opsrsca  19405
 Copyright terms: Public domain W3C validator