MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslemOLD 19392
Description: Obsolete version of opsrbaslem 19391 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslemOLD.1 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslemOLD.2 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslemOLD.3 𝑁 < 10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslemOLD (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslemOLD
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 eqid 2626 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
4 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
5 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
6 opsrbas.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 19390 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
98fveq2d 6154 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
10 opsrbaslemOLD.1 . . . . 5 𝐸 = Slot 𝑁
11 opsrbaslemOLD.2 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 15800 . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1311nnrei 10974 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
14 opsrbaslemOLD.3 . . . . . 6 𝑁 < 10
1513, 14ltneii 10095 . . . . 5 𝑁 ≠ 10
1610, 11ndxarg 15799 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) = 𝑁
17 plendxOLD 15964 . . . . . 6 (le‘ndx) = 10
1816, 17neeq12i 2862 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 10)
1915, 18mpbir 221 . . . 4 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
2012, 19setsnid 15831 . . 3 (𝐸𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
219, 20syl6reqr 2679 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
22 0fv 6185 . . . . . . 7 (∅‘𝑇) = ∅
2322eqcomi 2635 . . . . . 6 ∅ = (∅‘𝑇)
24 reldmpsr 19275 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
2524ovprc 6637 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26 reldmopsr 19387 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
2726ovprc 6637 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
2827fveq1d 6152 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
2923, 25, 283eqtr4a 2686 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3029adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3130, 1, 23eqtr4g 2685 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
3231fveq2d 6154 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
3321, 32pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896  cop 4159   class class class wbr 4618   × cxp 5077  cfv 5850  (class class class)co 6605   < clt 10019  cn 10965  10c10 11023  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  Slot cslot 15775  lecple 15864   mPwSer cmps 19265   ordPwSer copws 19269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-10OLD 11032  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ple 15877  df-psr 19270  df-opsr 19274
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator