Theorem ordom 3136

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2677	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀y∀x((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → y ∈ ω))
2		ordelord 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord x ⋀ y ∈ x) → Ord y)
3		nnord 3135	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ω → Ord x)
4	2, 3	sylan 448	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ω ⋀ y ∈ x) → Ord y)
5	4	ancoms 436	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → Ord y)
6		trel 2682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr z → ((y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ z))
7	6	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr z → (y ∈ x → (x ∈ z → y ∈ z)))
8	7	com12 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ x → (Tr z → (x ∈ z → y ∈ z)))
9		limord 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim z → Ord z)
10		ordtr 2957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord z → Tr z)
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim z → Tr z)
12	8, 11	syl5 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ x → (Lim z → (x ∈ z → y ∈ z)))
13	12	a2d 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ x → ((Lim z → x ∈ z) → (Lim z → y ∈ z)))
14	13	19.20dv 1287	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ x → (∀z(Lim z → x ∈ z) → ∀z(Lim z → y ∈ z)))
15		visset 1809	. . . . . . . . . 10 ⊢ x ∈ V
16	15	elom 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ω ↔ (Ord x ⋀ ∀z(Lim z → x ∈ z)))
17	16	pm3.27bi 326	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ω → ∀z(Lim z → x ∈ z))
18	14, 17	syl5 21	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ x → (x ∈ ω → ∀z(Lim z → y ∈ z)))
19	18	imp 350	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → ∀z(Lim z → y ∈ z))
20	5, 19	jca 288	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → (Ord y ⋀ ∀z(Lim z → y ∈ z)))
21		visset 1809	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
22	21	elom 3129	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω ↔ (Ord y ⋀ ∀z(Lim z → y ∈ z)))
23	20, 22	sylibr 200	. . . 4 ⊢ ((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → y ∈ ω)
24	23	ax-gen 961	. . 3 ⊢ ∀x((y ∈ x ⋀ x ∈ ω) → y ∈ ω)
25	1, 24	mpgbir 986	. 2 ⊢ Tr ω
26		omsson 3131	. 2 ⊢ ω ⊆ On
27		ordon 2982	. 2 ⊢ Ord On
28		trssord 2960	. 2 ⊢ ((Tr ω ⋀ ω ⊆ On ⋀ Ord On) → Ord ω)
29	25, 26, 27, 28	mp3an 914	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 952   ∈ wcel 956   ⊆ wss 2043  Tr wtr 2675  Ord word 2942  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  ωcom 3126

This theorem is referenced by:  elnn 3137  omon 3138  limom 3141  peano5 3148  ssnlim 3162  nnarcl 4222  oaabslem 4241  oaabs 4242  onomeneq 4504  ominf 4514  omsdomnn 4515  alephgeom 4862  iscard3 4868

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-om 3127

Copyright terms: Public domain