Theorem ordsseleq 5913

Description: For ordinal classes, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsseleq	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem ordsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelpss 5912	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
2	1	orbi1d 741	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		sspss 3848	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
4	2, 3	syl6rbbr 279	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   ⊊ wpss 3716  Ord word 5883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887

This theorem is referenced by:  ordtri3or  5916  ordtri1  5917  ordtri2  5919  onsseleq  5926  ordsssuc  5973  ordsson  7155  ordsucelsuc  7188  limom  7246  onfununi  7608  cfslbn  9301  noextenddif  32148  finxpsuclem  33563