MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsseleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsseleq 5913
Description: For ordinal classes, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsseleq ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem ordsseleq
StepHypRef Expression
1 ordelpss 5912 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
21orbi1d 741 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
3 sspss 3848 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵))
42, 3syl6rbbr 279 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  wpss 3716  Ord word 5883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887
This theorem is referenced by:  ordtri3or  5916  ordtri1  5917  ordtri2  5919  onsseleq  5926  ordsssuc  5973  ordsson  7155  ordsucelsuc  7188  limom  7246  onfununi  7608  cfslbn  9301  noextenddif  32148  finxpsuclem  33563
  Copyright terms: Public domain W3C validator