Theorem ordsssuc 6280

Description: An ordinal is a subset of another ordinal if and only if it belongs to its successor. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordsseleq 6223	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4		elsucg 6261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
5	4	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
6	3, 5	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  Ord word 6193  Oncon0 6194  suc csuc 6196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-ord 6197  df-on 6198  df-suc 6200

This theorem is referenced by:  onsssuc  6281  ordunisssuc  6296  ordpwsuc  7533  ordsucun  7543  cantnflt  9138  cantnflem1  9155  noetalem3  33223