Theorem ordsuc 3061

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 2952	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ On ↔ Ord A))
2		suceloni 3058	. . . . 5 ⊢ (A ∈ On → suc A ∈ On)
3		eloni 2954	. . . . 5 ⊢ (suc A ∈ On → Ord suc A)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 215	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (Ord A → Ord suc A))
6		ordelord 2966	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc A ⋀ A ∈ suc A) → Ord A)
7	6	ex 373	. . . 4 ⊢ (Ord suc A → (A ∈ suc A → Ord A))
8		sucidg 3048	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → A ∈ suc A)
9	7, 8	syl5com 52	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (Ord suc A → Ord A))
10	5, 9	impbid 515	. 2 ⊢ (A ∈ V → (Ord A ↔ Ord suc A))
11		sucprc 3040	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ V → suc A = A)
12	11	eqcomd 1478	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V → A = suc A)
13		ordeq 2951	. . 3 ⊢ (A = suc A → (Ord A ↔ Ord suc A))
14	12, 13	syl 10	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → (Ord A ↔ Ord suc A))
15	10, 14	pm2.61i 126	1 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Syntax hints:  ¬ wn 2   ↔ wb 146   = wceq 955   ∈ wcel 957  Vcvv 1808  Ord word 2943  Oncon0 2944  suc csuc 2946

This theorem is referenced by:  ordpwsuc 3062  sucelon 3064  ordsucss 3065  ordsucelsuc 3069  ordsucsssuc 3070  ordsucun 3078  0elsuc 3088  nlimsucg 3108  limsssuc 3117  php4 4505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-suc 2950

Copyright terms: Public domain