MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucelsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucelsuc 6969
Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsucelsuc (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐵)
2 ordelord 5704 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
31, 2jca 554 . 2 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4 simpl 473 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5 ordsuc 6961 . . . 4 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6 ordelord 5704 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7 ordsuc 6961 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
86, 7sylibr 224 . . . 4 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
95, 8sylanb 489 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
104, 9jca 554 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11 ordsseleq 5711 . . . . . . . 8 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
127, 11sylanb 489 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1312ancoms 469 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15 ordsucss 6965 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1615ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
17 sucssel 5778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1916, 18impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
20 sucexb 6956 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21 elsucg 5751 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2220, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2414, 19, 233bitr4d 300 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
2524ex 450 . . 3 (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26 elex 3198 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
27 elex 3198 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
2827, 20sylibr 224 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵𝐴 ∈ V)
2926, 28pm5.21ni 367 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3029a1d 25 . . 3 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
3125, 30pm2.61i 176 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
323, 10, 31pm5.21nd 940 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  Ord word 5681  suc csuc 5684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688
This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  6970  oalimcl  7585  omlimcl  7603  pssnn  8122  cantnflt  8513  cantnfp1lem3  8521  r1pw  8652  r1pwALT  8653  rankelpr  8680  rankelop  8681  rankxplim3  8688  infpssrlem4  9072  axdc3lem2  9217  axdc3lem4  9219  grur1a  9585  bnj570  30680  bnj1001  30733
  Copyright terms: Public domain W3C validator