Theorem ordsucelsuc 3068

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	⊢ (Ord B → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc A ⋀ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
2		ordsuc 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord A ⋀ Ord B) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
4	3	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (suc A ⊆ B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
5		ordsucss 3064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
6	5	ad2antll 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
7		sucssel 3065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ V → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
9	6, 8	impbid 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (A ∈ B ↔ suc A ⊆ B))
10		sucexb 3043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ V ↔ suc A ∈ V)
11		elsucg 3031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc A ∈ V → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ V → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (suc A ∈ suc B ↔ (suc A ∈ B ⋁ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ V ⋀ (Ord A ⋀ Ord B)) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
15	14	ex 373	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → ((Ord A ⋀ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B)))
16		elisset 1813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
17		elisset 1813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc A ∈ suc B → suc A ∈ V)
18	17, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (suc A ∈ suc B → A ∈ V)
19	16, 18	pm5.21ni 677	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ A ∈ V → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
20	19	a1d 12	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ A ∈ V → ((Ord A ⋀ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 126	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord A ⋀ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))
22	21	biimpd 153	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ⋀ Ord B) → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
23		ordelord 2965	. . . . . 6 ⊢ ((Ord B ⋀ A ∈ B) → Ord A)
24	22, 23	sylan 448	. . . . 5 ⊢ (((Ord B ⋀ A ∈ B) ⋀ Ord B) → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
25	24	exp31 376	. . . 4 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → (Ord B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))))
26	25	pm2.43a 66	. . 3 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B)))
27	26	pm2.43d 65	. 2 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ∈ suc B))
28	21	biimprd 154	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ⋀ Ord B) → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
29		ordelord 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc B ⋀ suc A ∈ suc B) → Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc B ⋀ suc A ∈ suc B) → Ord A)
31		ordsuc 3060	. . . . . . 7 ⊢ (Ord B ↔ Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 449	. . . . . 6 ⊢ ((Ord B ⋀ suc A ∈ suc B) → Ord A)
33	28, 32	sylan 448	. . . . 5 ⊢ (((Ord B ⋀ suc A ∈ suc B) ⋀ Ord B) → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
34	33	exp31 376	. . . 4 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → (Ord B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))))
35	34	pm2.43a 66	. . 3 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B)))
36	35	pm2.43d 65	. 2 ⊢ (Ord B → (suc A ∈ suc B → A ∈ B))
37	27, 36	impbid 515	1 ⊢ (Ord B → (A ∈ B ↔ suc A ∈ suc B))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  Vcvv 1807   ⊆ wss 2043  Ord word 2942  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3069  oalimcl 4184  omlimcl 4199  pssnn 4519  r1pw 4666  rankelpr 4688  rankelop 4689  rankxplim3 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain