MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthaus 21098
Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 dom 𝑅 = dom 𝑅
21ordthauslem 21097 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
31ordthauslem 21097 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))))
4 necom 2843 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥𝑥𝑦)
5 3ancoma 1043 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅))
6 incom 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑚) = (𝑚𝑛)
76eqeq1i 2626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑚) = ∅ ↔ (𝑚𝑛) = ∅)
873anbi3i 1253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
95, 8bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1092rexbii 3035 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
11 rexcom 3091 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
1210, 11bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
134, 12imbi12i 340 . . . . . . 7 ((𝑦𝑥 → ∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑦𝑛𝑥𝑚 ∧ (𝑛𝑚) = ∅)) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
143, 13syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
15143com23 1268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
161tsrlin 17140 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
172, 15, 16mpjaod 396 . . . 4 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
18173expb 1263 . . 3 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
1918ralrimivva 2965 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
201ordttopon 20907 . . 3 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
21 ishaus2 21065 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2220, 21syl 17 . 2 (𝑅 ∈ TosetRel → ((ordTop‘𝑅) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑅𝑦 ∈ dom 𝑅(𝑥𝑦 → ∃𝑚 ∈ (ordTop‘𝑅)∃𝑛 ∈ (ordTop‘𝑅)(𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
2319, 22mpbird 247 1 (𝑅 ∈ TosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  c0 3891   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  ordTopcordt 16080   TosetRel ctsr 17120  TopOnctopon 20618  Hauscha 21022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fi 8261  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-haus 21029
This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22545  xrhaus  29376  xrge0tsmsd  29567
  Copyright terms: Public domain W3C validator