MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtopn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopn3 21048
Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtopn3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3
StepHypRef Expression
1 inrab 3932 . 2 ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 21045 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
433ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 20766 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
72ordtopn1 21046 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
873adant3 1101 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
92ordtopn2 21047 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1093adant2 1100 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11 inopn 20752 . . 3 (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
126, 8, 10, 11syl3anc 1366 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
131, 12syl5eqelr 2735 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cin 3606   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cfv 5926  ordTopcordt 16206  Topctop 20746  TopOnctopon 20763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator