MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtr2 5727
Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtr2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem ordtr2
StepHypRef Expression
1 ordelord 5704 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐶𝐵𝐶) → Ord 𝐵)
21ex 450 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → Ord 𝐵))
32ancld 575 . . . . . 6 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
43anc2li 579 . . . . 5 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5 ordelpss 5710 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
6 sspsstr 3690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
76expcom 451 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
85, 7syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
98expcom 451 . . . . . . . 8 (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
109com23 86 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
1110imp32 449 . . . . . 6 ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
1211com12 32 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴𝐶))
134, 12syl9 77 . . . 4 (Ord 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶)))
1413impd 447 . . 3 (Ord 𝐶 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
1514adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
16 ordelpss 5710 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
1715, 16sylibrd 249 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wss 3555  wpss 3556  Ord word 5681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685
This theorem is referenced by:  ordtr3OLD  5729  ontr2  5731  ordelinel  5784  ordelinelOLD  5785  smogt  7409  smorndom  7410  nnarcl  7641  nnawordex  7662  coftr  9039  nodenselem5  31548  hfuni  31933
  Copyright terms: Public domain W3C validator