MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtr2 6228
Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtr2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem ordtr2
StepHypRef Expression
1 ordelord 6206 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐶𝐵𝐶) → Ord 𝐵)
21ex 413 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → Ord 𝐵))
32ancld 551 . . . . . 6 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
43anc2li 556 . . . . 5 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5 ordelpss 6212 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
6 sspsstr 4079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
76expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
85, 7syl6bi 254 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
98expcom 414 . . . . . . . 8 (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
109com23 86 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
1110imp32 419 . . . . . 6 ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
1211com12 32 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴𝐶))
134, 12syl9 77 . . . 4 (Ord 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶)))
1413impd 411 . . 3 (Ord 𝐶 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
1514adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
16 ordelpss 6212 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
1715, 16sylibrd 260 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933  wpss 3934  Ord word 6183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187
This theorem is referenced by:  ontr2  6231  ordelinel  6282  smogt  7993  smorndom  7994  nnarcl  8231  nnawordex  8252  coftr  9683  noetalem3  33116  hfuni  33542
  Copyright terms: Public domain W3C validator