MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtr2 5929
Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtr2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem ordtr2
StepHypRef Expression
1 ordelord 5906 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐶𝐵𝐶) → Ord 𝐵)
21ex 449 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → Ord 𝐵))
32ancld 577 . . . . . 6 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
43anc2li 581 . . . . 5 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5 ordelpss 5912 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
6 sspsstr 3854 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
76expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
85, 7syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
98expcom 450 . . . . . . . 8 (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
109com23 86 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
1110imp32 448 . . . . . 6 ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
1211com12 32 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴𝐶))
134, 12syl9 77 . . . 4 (Ord 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶)))
1413impd 446 . . 3 (Ord 𝐶 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
1514adantl 473 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
16 ordelpss 5912 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
1715, 16sylibrd 249 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wss 3715  wpss 3716  Ord word 5883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887
This theorem is referenced by:  ordtr3OLD  5931  ontr2  5933  ordelinel  5986  ordelinelOLD  5987  smogt  7634  smorndom  7635  nnarcl  7867  nnawordex  7888  coftr  9307  noetalem3  32192  hfuni  32618
  Copyright terms: Public domain W3C validator