Theorem ordtr3OLD 5931

Description: Obsolete proof of ordtr3 5930 as of 24-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr3OLD	⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtr3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → Ord 𝐶)
2		ordelord 5906	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
3	2	adantlr 753	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
4		ordtri1 5917	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐴) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	1, 3, 4	syl2an2r 911	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
6		ordtr2 5929	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 468	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵))
8	7	expcomd 453	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵)))
9	8	imp 444	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	5, 9	sylbird 250	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	10	orrd 392	. 2 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵))
12	11	ex 449	1 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∨ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  Ord word 5883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887

This theorem is referenced by: (None)