MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2lem 20920
Description: Lemma for ordtrest2 20921. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (𝜑𝐴𝑋)
ordtrest2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2lem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3878 . . . . 5 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2 ordtrest2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
3 sseqin2 3797 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ (𝑋𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝐴)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑋𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3179 . . . . . 6 ((𝑋𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
81, 7syl5eq 2667 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
9 ordtrest2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
10 inex1g 4763 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
1312ordttopon 20910 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
15 tsrps 17145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ PosetRel)
17 ordtrest2.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = dom 𝑅
1817psssdm 17140 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
1916, 2, 18syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2114, 20eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
22 toponmax 20642 . . . . . . . 8 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
25 rabid2 3107 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
26 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2725, 26sylbir 225 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2824, 27syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
29 dfrex2 2990 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
30 breq1 4618 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
3130cbvrexv 3160 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
3229, 31bitr3i 266 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
33 ordttop 20917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3411, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
36 0opn 20631 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3837adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
39 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
41 rabn0 3934 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
42 breq1 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
4342notbid 308 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
4443cbvrexv 3160 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
4541, 44bitri 264 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
469ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
472ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴𝑋)
4847sselda 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑋)
49 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝑋)
5017tsrlin 17143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5146, 48, 49, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5251ord 392 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
53 an4 864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
54 ordtrest2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
55 rabss 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5654, 55sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5756r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5857an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5958impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
6053, 59sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
61 brinxp 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6261ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6362notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6463rabbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6560, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6619ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
67 rabeq 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6965, 68eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7011ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7160, 66eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7212ordtopn1 20911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7370, 71, 72syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7469, 73eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7574anassrs 679 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7675expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7752, 76syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7877rexlimdva 3024 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7945, 78syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8040, 79pm2.61dne 2876 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180rexlimdvaa 3025 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8232, 81syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8328, 82pm2.61d 170 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
848, 83eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8584ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
86 dmexg 7047 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TosetRel → dom 𝑅 ∈ V)
879, 86syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
8817, 87syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
89 rabexg 4774 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
9088, 89syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
9190ralrimivw 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
92 eqid 2621 . . . 4 (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
93 ineq1 3787 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
9493eleq1d 2683 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9592, 94ralrnmpt 6326 . . 3 (∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9691, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9785, 96mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3555  wss 3556  c0 3893   class class class wbr 4615  cmpt 4675   × cxp 5074  dom cdm 5076  ran crn 5077  cfv 5849  ordTopcordt 16083  PosetRelcps 17122   TosetRel ctsr 17123  Topctop 20620  TopOnctopon 20637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-fi 8264  df-topgen 16028  df-ordt 16085  df-ps 17124  df-tsr 17125  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664
This theorem is referenced by:  ordtrest2  20921
  Copyright terms: Public domain W3C validator