MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtresticc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtresticc 20775
Description: The restriction of the less than order to a closed interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtresticc ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))

Proof of Theorem ordtresticc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12079 . 2 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
2 iccss2 12067 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
31, 2ordtrestixx 20774 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  cin 3534   × cxp 5022  cfv 5786  (class class class)co 6523  cle 9927  [,]cicc 12001  t crest 15846  ordTopcordt 15924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-icc 12005  df-rest 15848  df-topgen 15869  df-ordt 15926  df-ps 16965  df-tsr 16966  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461
This theorem is referenced by:  dfii5  22423  iccpnfhmeo  22479  xrhmeo  22480
  Copyright terms: Public domain W3C validator