MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrestixx 21758
Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
ordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ledm 17822 . . . 4 * = dom ≤
2 letsr 17825 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
4 ordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
64sseli 3960 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ*)
74sseli 3960 . . . . . . 7 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*)
8 iccval 12765 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
96, 7, 8syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 ordtrestixx.2 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
119, 10eqsstrrd 4003 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
1211adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
131, 3, 5, 12ordtrest2 21740 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
1413eqcomd 2824 . 2 (⊤ → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1514mptru 1535 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  {crab 3139  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  *cxr 10662  cle 10664  [,]cicc 12729  t crest 16682  ordTopcordt 16760   TosetRel ctsr 17797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-icc 12733  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  ordtresticc  21759  icopnfhmeo  23474
  Copyright terms: Public domain W3C validator